Zadanie nr 7370352

Dany jest układ równań: { mx − y = 2 x+ my = m .
Dla każdej wartości parametru wyznacz parę liczb (x,y) , która jest rozwiązaniem tego układu równań. Wyznacz najmniejszą wartość sumy x + y dla m ∈ ⟨2,4⟩ .

Rozwiązanie

Aby rozwiązać układ równań mnożymy drugie równanie przez i odejmujemy od niego pierwsze. Otrzymamy y(m 2 + 1) = m 2 − 2 . Stąd łatwo otrzymać, że

( ) --3m--- m-2 −-2 (x ,y ) = m 2 + 1 ,m 2 + 1

Aby wyznaczyć najmniejszą wartość sumy x + y rozważmy funkcję

m 2 + 3m − 2 3m − 3 f(m ) = x + y = -----2-------= 1+ --2---- dla m ∈ ⟨2,4⟩ m + 1 m + 1

Musimy znaleźć najmniejszą wartość tej funkcji. W tym celu liczymy jej pochodną.

′ 3(m-2 +-1)-−-(3m-−-3)2m-- −-3m-2 +-6m-+-3- f (m ) = (m 2 + 1)2 = (m2 + 1)2

Miejsca zerowe pochodnej to rozwiązania równania − 3m 2 + 6m + 3 = 0 , czyli liczby √ -- m 1 = 1 − 2 i √ -- m 2 = 1 + 2 . Jedynie druga z tych liczb leży w interesującym nas przedziale. Musimy jeszcze ustalić jak zmienia się znak pochodnej. Ponieważ mianownik pochodnej jest zawsze dodatni, wystarczy ustalić znak licznika. Ponieważ wykres licznika jest parabolą o ramionach skierowanych w dół - rysunek, więc ′ f (m ) > 0 dla √ -- m ∈ ⟨2 ,1+ 2 ) oraz f ′(m ) < 0 dla √ -- m ∈ (1+ 2 ,4⟩ .