Zadanie nr 4610816
Prosta przechodząca przez środek kwadratu przecina proste zawierające jego boki i odpowiednio w punktach i (zobacz rysunek).
Jeżeli bok kwadratu ma długość i , to pole trójkąta jest równe
A) 32 B) 36 C) 40 D) 52
Rozwiązanie
Niech będzie punktem wspólnym odcinków i .
Punkt jest środkiem symetrii kwadratu , więc . Ponadto trójkąty prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku , więc są podobne.
Sposób I
Jeżeli oznaczymy , to z podobieństwa trójkątów i mamy
Pole trójkąta jest więc równe
Sposób II
Trójkąt jest
razy mniejszy od trójkąta , czyli stosunek pól tych trójkątów jest równy . Ponadto pole trapezu stanowi połowę pola kwadratu , więc
Odpowiedź: B