Zadanie nr 1845619
Oblicz długość krzywej danej równaniami ,
, gdzie
.
Rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru
![∫ b∘ ----------------- [x′(t)]2 + [y′(t)]2dt a](https://img.zadania.info/zad/1845619/HzadR0x.gif)
na długość krzywej o parametryzacji , gdzie
.
Liczymy
![x′(t) = (etcost + etsint)′ = etcos t− etsin t+ etsin t+ etcos t = 2etcos t, ′ t t ′ t t t t t y (t) = (e cost − e sint) = e cost − e sint − e sint − e cos t = − 2e sin t, (x ′(t))2 = 4e2tco s2 t, ( ) y ′(t) 2 = 4e2tsin2t.](https://img.zadania.info/zad/1845619/HzadR3x.gif)
Mamy zatem
![∫ π ∘ ----------------- ∫ 1∘ ---------------------- 2 [x′(t)]2 + [y′(t)]2dt = 4e2tco s2t+ 4e2t sin 2tdt = 0 0 ∫ 1√ --- ∫ 1 t √ --[ t]π = 2 e2tdt = 2 edt = 2 e 20 = 2 (e − 1). 0 0](https://img.zadania.info/zad/1845619/HzadR4x.gif)
Odpowiedź:
Oblicz długość krzywej danej równaniami ,
, gdzie
.
Korzystamy ze wzoru
na długość krzywej o parametryzacji , gdzie
.
Liczymy
Mamy zatem
Odpowiedź: