/Studia/Analiza/Zastosowania całek/Długość krzywej

Zadanie nr 2277304

Oblicz długość krzywej √ --3 y = x , 0 ≤ x ≤ 1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru

∫ b∘ ------------- 1+ (f′(x ))2dx a

na długość wykresu funkcji y = f (x) na przedziale [a,b] .

Szukana długość jest więc równa

∘ -------------- ∘ ------------ ∫ 1 [( 3) ′] 2 ∫ 1 [3 1]2 1 + x2 dx = 1 + --x2 dx = 0 0 2 ∫ 1 ∘ ----9-- || 9 || = 1 + -xdx = ||t = 1+9 4x,|| = 0 4 dt = 4dx ∫ 13 √ - [ √ --] 134- ( √ --- ) = 4 4- tdt = 4⋅ 2- t3 = 8-- 1-3 13 − 1 . 1 9 9 3 1 27 8

 
Odpowiedź: ( --- ) -8 13√ 13 − 1 27 8

Wersja PDF