/Studia/Analiza/Zastosowania całek/Długość krzywej

Zadanie nr 4210507

Oblicz długość krzywej 1 2 y = 4x , gdzie 0 ≤ x ≤ 4 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru

∫ b ∘ ------------ 1+ [f′(x )]2dx a

na długość wykresu funkcji y = f (x) na przedziale [a,b] .

Szukana długość jest więc równa

∘ -------- ∫ 4 1- 2 1∫ 4 ∘ -----2- 1 + 4 x dx = 2 4 + x dx 0 0

Korzystamy teraz ze wzoru

∫ ∘ ------- x ∘ ------- k ∘ ------- x 2 + kdx = -- x2 + k + --ln|x + x2 + k|+ C . 2 2

Mamy zatem

1 ∫ 4 ∘ ------- 1 ∫ 4( x∘ ------- ∘ ------- ) -- 4+ x2dx = -- -- x2 + 4+ 2ln(x + x 2 + 4 ) dx = 2 0 ( 2 0 2 ) 1- √ --- √ --- √ -- √ -- = 2 2 20 + 2ln(4 + 2 0) − ln2 = 2 5+ ln (4+ 2 5)− ln 2 = √ -- √ -- = 2 5 + ln(2 + 5 ).

 
Odpowiedź: 2√ 5-+ ln(2 + √ 5-)

Wersja PDF