Zadanie nr 4210507
Oblicz długość krzywej , gdzie
.
Rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru
![∫ b ∘ ------------ 1+ [f′(x )]2dx a](https://img.zadania.info/zad/4210507/HzadR0x.gif)
na długość wykresu funkcji na przedziale
.
Szukana długość jest więc równa
![∘ -------- ∫ 4 1- 2 1∫ 4 ∘ -----2- 1 + 4 x dx = 2 4 + x dx 0 0](https://img.zadania.info/zad/4210507/HzadR3x.gif)
Korzystamy teraz ze wzoru
![∫ ∘ ------- x ∘ ------- k ∘ ------- x 2 + kdx = -- x2 + k + --ln|x + x2 + k|+ C . 2 2](https://img.zadania.info/zad/4210507/HzadR4x.gif)
Mamy zatem
![1 ∫ 4 ∘ ------- 1 ∫ 4( x∘ ------- ∘ ------- ) -- 4+ x2dx = -- -- x2 + 4+ 2ln(x + x 2 + 4 ) dx = 2 0 ( 2 0 2 ) 1- √ --- √ --- √ -- √ -- = 2 2 20 + 2ln(4 + 2 0) − ln2 = 2 5+ ln (4+ 2 5)− ln 2 = √ -- √ -- = 2 5 + ln(2 + 5 ).](https://img.zadania.info/zad/4210507/HzadR5x.gif)
Odpowiedź:
Oblicz długość krzywej , gdzie
.
Korzystamy ze wzoru
na długość wykresu funkcji na przedziale
.
Szukana długość jest więc równa
Korzystamy teraz ze wzoru
Mamy zatem
Odpowiedź: