Zadanie nr 6612960
Oblicz długość krzywej , gdzie
.
Rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru
![∫ b ∘ ------------ 1+ [f′(x )]2dx a](https://img.zadania.info/zad/6612960/HzadR0x.gif)
na długość wykresu funkcji na przedziale
.
W naszej sytuacji mamy
![√ -∘ ------- √- √ ------- √ -√ ------- ∫ 8 1-- ∫ 8 --x2-+-1- ∫ 8--x2-+-1- √ - 1 + x2dx = √- x dx = √ - x2 ⋅xdx = 3| | ∫ 3 ∫ 3 || t2 = x 2 + 1 || 3 --t--- 3 t2 −-1+-1- = |2tdt = 2xdx | = 2 t2 − 1 ⋅tdt = 2 t2 − 1 dt = ∫ 3( ) ∫ 3 ( ) = 1 + ------1------- dt = [t]3 + 1- -1---− -1--- dt = 2 (t− 1)(t+ 1) 2 2 2 t− 1 t+ 1 [ ] 3 = 1+ 1-[ln(t − 1) − ln(t+ 1)]3 = 1+ 1- ln t-−-1 = 2 2 2 t + 1 2 1 2 1 1 1 3 = 1+ --ln --− --ln --= 1+ --ln --. 2 4 2 3 2 2](https://img.zadania.info/zad/6612960/HzadR3x.gif)
Odpowiedź:
Oblicz długość krzywej , gdzie
.
Korzystamy ze wzoru
na długość wykresu funkcji na przedziale
.
W naszej sytuacji mamy
Odpowiedź: