/Studia/Analiza/Zastosowania całek/Długość krzywej

Zadanie nr 8772554

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz długość krzywej danej równaniami t x = e sin t , t y = e c ost , t ∈ [0, π2] .

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru

∫ b∘ ----------------- [x′(t)]2 + [y′(t)]2dt a

na długość krzywej o parametryzacji (x(t),y(t)) , gdzie t ∈ [a,b] .

Liczymy

x ′(t) = (etsin t)′ = etsin t+ etco st = et(sin t+ co st), ′ t ′ t t t y (t) = (e cos t) = e co st− e sin t = e (cost − sint), (x′(t))2 = e2t(sin2 t+ 2 sin tco st+ c os2t) = e2t(1+ 2 sint cost), ( ) y′(t) 2 = e2t(sin2 t− 2 sin tcos t+ co s2t) = e2t(1 − 2 sintco st).

Mamy zatem

∫ π ∘ ----------------- 2 [x′(t)]2 + [y′(t)]2dt = 0 ∫ π2 √ ---- √ -∫ π2 t √ --[ t] π √ -- π = 2e2tdt = 2 e dt = 2 e 02 = 2(e 2 − 1). 0 0

 
Odpowiedź: √ -- π 2(e 2 − 1)

Wersja PDF