Zadanie nr 8772554
Oblicz długość krzywej danej równaniami ,
,
.
Rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru
![∫ b∘ ----------------- [x′(t)]2 + [y′(t)]2dt a](https://img.zadania.info/zad/8772554/HzadR0x.gif)
na długość krzywej o parametryzacji , gdzie
.
Liczymy
![x ′(t) = (etsin t)′ = etsin t+ etco st = et(sin t+ co st), ′ t ′ t t t y (t) = (e cos t) = e co st− e sin t = e (cost − sint), (x′(t))2 = e2t(sin2 t+ 2 sin tco st+ c os2t) = e2t(1+ 2 sint cost), ( ) y′(t) 2 = e2t(sin2 t− 2 sin tcos t+ co s2t) = e2t(1 − 2 sintco st).](https://img.zadania.info/zad/8772554/HzadR3x.gif)
Mamy zatem
![∫ π ∘ ----------------- 2 [x′(t)]2 + [y′(t)]2dt = 0 ∫ π2 √ ---- √ -∫ π2 t √ --[ t] π √ -- π = 2e2tdt = 2 e dt = 2 e 02 = 2(e 2 − 1). 0 0](https://img.zadania.info/zad/8772554/HzadR4x.gif)
Odpowiedź:
Oblicz długość krzywej danej równaniami ,
,
.
Korzystamy ze wzoru
na długość krzywej o parametryzacji , gdzie
.
Liczymy
Mamy zatem
Odpowiedź: