/Studia/Analiza/Zastosowania całek/Długość krzywej

Zadanie nr 9714852

Oblicz długość krzywej 3 3 x = a cos t,y = asin t , gdzie [ π] t ∈ 0 ,2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru

∫ b∘ ----------------- [x′(t)]2 + [y′(t)]2dt a

na długość krzywej o parametryzacji (x(t),y(t)) , gdzie t ∈ [a,b] .

W naszej sytuacji mamy

[ ] [x′(t)]2 = − 3aco s2tsin t2 = 9a2cos4 tsin2t, [ ′ ]2 [ 2 ] 2 2 4 2 y (t) = 3asin tcos t = 9a sin tcos t, ∫ b∘ ----------------- ∫ π ∘ -------------------------------- [x ′(t)]2 + [y′(t)]2dt = 2 9a2 cos4tsin2 t+ 9a 2sin4tco s2tdt = a 0 ∫ π2 ∘ --------------------------- ∫ π2 = 3|a| sin2t cos2t(cos2 t+ sin2t)dt = 3 |a| sin tcos tdt = 0 [ ] π [ 0 ] 3 ∫ π2 3 1 2 3 1 1 3 = -|a| sin 2tdt = -|a| − -co s2t = --|a| --+ -- = --|a|. 2 0 2 2 0 2 2 2 2

 
Odpowiedź: 3|a| 2

Wersja PDF