Podstawy matematyki chwieją się?

Brak dykcji jako źródło nieporozumień

Powodem całego zamieszania jest niewinne działanie 6:2(2+1), które niektórzy obliczają jako: \(6:2(2+1)=6:2\cdot 3=3\cdot 3=9\), a inni jako: \(6:2(2+1)=\frac{6}{2\cdot 3}=\frac{6}{6}=1\). W tym miejscu (jako zawodowemu matematykowi) wypadałoby rozpocząć mądry wywód o wyższości jednego rachunku nad drugim, ale szczerze mówiąc nie ma o czym pisać. Formalnie tylko pierwsze działanie jest poprawne, bo wykonując działania równorzędne, wykonujemy je od lewej do prawej. Trochę to rozczarowujące, bo temat, który rozgrzał najtęższe pudelkowe umysły do czerwoności okazuje się być na poziomie pierwszych klas szkoły podstawowej.

Nie możemy zapominać, że matematyka to język, którym komunikujemy się innymi ludźmi. Problem działania 6:2(2+1) sprowadza się więc do pytania, czy to co chcemy powiedzieć innym ludziom jest wystarczająco zrozumiałe? Osoby zajmujące się matematyką są na ogół ostrożne (i starają się mówić wyraźnie) i dlatego matematyk napisałby to działanie w postaci \(6:(2\cdot(2+1))\) lub \((6:2)\cdot (2+1)\), w zależności od tego, co akurat miał ochotę powiedzieć.

Jako dobre porównanie wyobraźmy sobie nagranie, na którym ktoś niewyraźnie mówi ,,zupa'', a ,,internet'' zaczyna wrzeć wobec dylematu, czy na tym nagraniu jest ,,zupa'', ,,lupa'', czy może jeszcze coś innego...

Zero zeru nie równe.

Z drugiej strony, matematycy bardzo lubią nadużywać różnych symboli i oznaczeń i jednym z elementów nauki matematyki jest zdobywanie umiejętności rozumienia co dany symbol (w danym kontekście) oznacza. Np. studenci I roku z radością odkrywają, że 0 to nie zawsze jest zero, a w każdym bądź razie, że jest wiele różnych zer.

Np. wykonując działania na wektorach wygodnie jest oznaczać \(0=[0,0]\) (wektor zerowy). Dzięki temu możemy piać np. \([4,5]+[-4,-5]=0\). Co gorsza, wektory mogą mieć więcej niż dwie współrzędne i nagle okazuje się, że jest nieskończenie wiele różnych zer! Np. \(0=[0,0]\neq [0,0,0]=0\). Co więcej, czasami takie różne zera spotykają się w jednym działaniu, np. jeżeli v jest wektorem, to w zapisie \(0\cdot v=0\) zero z lewej strony to liczba 0, a zero z prawej to wektor zerowy.

Pierwszym (naiwnym) odruchem mógłby być pomysł: ponieważ są to różne zera, to każde powinno mieć swój symbol. Rzeczywiście czasem (z powodów dydaktycznych) próbuje się coś takiego robić i pisze się np. \(\vec{0}\) na oznaczenie wektora zerowego. Nadal nie rozwiązuje to jednak np. problemu liczby współrzędnych, może bardziej poprawnie powinno się pisać \(\vec{0}_n\)?

O zgrozo jest jeszcze gorzej, bo oprócz wektorów mogą być jeszcze macierze zerowe, funkcje zerowe, zerowe przestrzenie liniowe, zerowe reszty z dzielenie przez n i wiele wiele innych zer. Z tego powodu matematycy zadawalają się jednym symbolem 0 na wszystkie różne zera i dlatego trzeba sporo wprawy, żeby zrozumieć, co akurat chcą nam powiedzieć.

Zadajcie sobie trochę trudu i spróbujcie sobie wyobrazić jak wiele różnych rzeczy może oznaczać napis \(0\cdot 0=0\). Spróbujcie tak go zinterpretować, żeby były w nim trzy różne zera!