VIII próbna matura z matematyki z www.zadania.info

Zamieściliśmy arkusze VIII próbnej matury.
http://www.zadania.info/n/4637686
Ponieważ jesteśmy już bardzo blisko matury, rozwiązania będą dostępne w niedzielę 10 maja o godz. 7.
Do tego czasu wszystkie posty na temat zadań i rozwiązań zadań z tych arkuszy będą usuwane.
Jeżeli macie wątpliwości co do poprawności treści zadań to piszcie do supergolonki na
supergolonkaMALPAzadania.info

Już po , z początku wydawała się trudna, ale w miare upływu czasu pomysły jakoś przychodziły do głowy, bardzo ciekawe zadania, dosyć podchwytliwe. POLECAM!

Też już po zmaganiach. Zgodnie z przewidywaniami, IMO najtrudniejszy arkusz z dotychczasowych. Udało się przejść przez wszystkie zadania, ale czy wszystko dobrze, to się dopiero okaże

Dla mnie trudniejsza była bodajże nr VI albo V nie pamiętam dokładnie, teraz liczę nawet na 90+ procent:)

ostatnia matura ma bardzo nierowny poziom, zadanka albo na 1 rownanie albo na niewiadomo co...
polowe zrobilem, jak to co mam dobrze to bedzie ok 60 %, z tym ze poprostu nie chcialem bazgrac po wydrukowanym arkuszu wiec czesc zadanek zostawilem. czekam na odpowiedzi, pozdrawiam

mam watpliwosci co do podpunktu b w zadaniu pierwszym lecz pozostale zadania mile nie to co poprzedni zestaw ;D

Rozszerzenie bardzo przyjemne. Imo latwiejsza niz poprzednia, 2h i wszystkie zadanka w miare pewnie zrobione. Ehhh, to juz ostatnia maturka z zadania.info... Dzięki wielkie za ich przygotowywanie. Jesteście wielcy!

Ja jestem niezadowolony ;p Nie poszlo mi tak jakbym chcial ;/ z 80% bedzie mysle, bo zadanie 6 i 7 nie wiem czy mam dobrze, reszte raczej tak. Najgorsze bylo moim zdaniem 7 ;p

No a tak swoja droga, to odwaliliscie swietna robote tymi maturami. Musze przyznac, ze serwis zadania.info byl jednym z moich glownych zrodel do przygotowan do matury 2009 ;p Takze dzieki wielkie dla tworcow

Dosyc ciezkawa ta matura ,ale bywaly gorsze
Jakby ktos jeszcze chcial popisac o nadchodzacej maturze to serdecznie zapraszam na gg 12879663

Niestety musze zaliczyc ja do trudniejszej niz ostatnia, bo nie mialem pomyslu na zadanie 7. Patrzac na poziom trudnosci, latwiejsza tylko, ze wiecej "maturalnych haczykow".

Rozwiązania:
Poziom podstawowy
Poziom roszerzony

Cóż, i w ten sposób dotarliśmy do końca naszych zabaw maturalnych. Teraz pozostało Wam życzyć szczęścia na maturze. Pamiętajcie, że wszystkie zadania są do zrobienia, musicie tylko mocno wierzyć we własne możliwości.

Postaram się rozwiązać matury jak tylko będą dostępne arkusze, więc moje rozwiązania matur powinny być dostępne w środę wieczorem.

Wprawdzie zad. 7 rozwiązane zostało na wiele sposobów, to ja dorzucę jeszcze jedno. Choć dosyć paskudne ono jest, bo dużo liczenia

Oznaczam kąty : szukany \(ASB = \alpha\) i pozostałe \(BAS = \beta\) , \(ABS = \gamma\)
boki : \(AS = x\) , \(BS = y\)

Na początek spojrzenie na trójkąt równoramienny \(AFB\) .Ramię \(AF = \frac{\sqrt{5}}{2}\) , wysokość wynosi \(1\). Stąd \(sin \beta = \frac{2\sqrt{5}}{5}\).
Z trójkąta prostokątnego \(ABE\) : \(sin \gamma=\frac{\sqrt{10}}{10}\) , \(cos \gamma=\frac{3\sqrt{10}}{10}\)

Z tw. sinusów:

\(\frac{y}{sin \beta}=\frac{x}{sin \gamma}\)
Po przekształceniach \(y=2\sqrt{2}x\)

Dalej z tw. cosinusów:
\(x^2=y^2+1-2ycos \gamma\)
Wszystko podstawiając, otrzymamy równanie kwadratowe:
\(35x^2-12\sqrt{5}x+5=0\)
Wychodzą 2 rozwiązania , \(x_{1}=\frac{2\sqrt{5}}{10}\) oraz \(x_{2}=\frac{\sqrt{5}}{7}\) . Pierwsze z nich
odrzucam, bo owe \(x\) nie może być większe od \(\frac{1}{3}\) , a \(x_{1}\) w przybliżeniu daje \(0,44\)

Mając \(x\) , z tw. sinusów \(\frac{AB}{sin \alpha}=\frac{x}{sin \beta}\) , \(AB=1\).
Stąd \(sin \alpha = \frac{7}{5\sqrt{2}}\) . Z jedynki trygonometrycznej liczę cosinus. Po sprawdzeniu, że jest to kąt rozwarty , wybór pada na
cosinus ujemny, zatem \(cos \alpha=-\frac{1}{5\sqrt{2}}\)

W zad. z prostokątem w układzie współrzędnych bok B wyliczałem z iloczynu skalarnego, a potem zapisałem warunek na równość odpowiednich wektorów, by znaleźć bok D.

Wynik mnie satysfakcjonuje jak najbardziej, mimo iż machnąłem się trochę w jednym zadaniu + jeden błąd rachunkowy + niedomknięcie jednego przedziału. No i trochę zapis tym razem ucierpiał, ale nie wiem czy na tyle, żeby jakieś punkty zabierać.

Zad. 2 Roz. mozna rozwiązać w taki sposób?:
Il. 2x+1
IIl. 2x+3
Suma kw.: 8x^2 + 16x + 10
delta jest ujemna więc równanie nie może być kwadratem l. całkowitej.

Można z tego samego zestawu zad. 7 b) zrobić w taki sposób:
1. Liczymy EB i AF.
2. Dorysowujemy odcinek EG taki, żeby powstał nam trapez prostokątny ABGE i liczymy jego długość z tw. Talesa.
3. Obliczamy pole trapezu., pole trójkąta AES (które równa się polu BSG) i od pola trapezu odejmujemy te 2 trójkąty.
4. Liczymy pole trójkątów ABS i EGE. Dzięki wyliczonemu wcześniej polu możemy obliczyć na jakie części dzieli wysokość trapezu pkt. S.
5. Teraz możemy skorzystać z Talesa w trójkątach ABE i DAF aby obliczyć BS i AS.
6. Z tw. cosinusów w trójkącie ABS liczymy co mamy wyliczyć.

Byłbym wdzięczny gdyby ktoś przejrzał ten sposób i napisał czy można to tak zrobić...

Według mnie jeśli chodzi o sposób do zadania drugiego to masz racje, da się tak rozwiązać zadanie, bo pokazujesz, że wielomianu nie da się rozłożyc na czynniki liniowe ani przedstawić w postaci wzoru skróconego mnożenia czyli nie może on być kwadratem liczby całkowitej.

A gdyby wyszło na przykład \(x^2+7\) ? Delta też ujemna, a dla nieparzystej liczby, dajmy na to \(3\) jest to kwadrat liczby \(4\) . Uzasadnianie deltą to IMO nie jest uzasadnienie.

Ale tu mamy trochę inną sytuację, bo gdyby ta liczba była kwadratem l. całkowitej to musiałaby mieć postać funkcji liniowej (ax +b) i delta wyszłaby równa 0.

czachur ma rację, przecież jego wielomianu też nie rozłożysz na czynniki liniowe.

A dlaczego musi być liniowa? Wystarczy dobrać inne liczby, np \((2x-1)^2+(2x+1)^2\) , a wyjdzie \(8x^2+2\) . Podnosząc wielomian stopnia pierwszego do kwadratu, niezaleznie czy \(a=0\) , czy jest różne od 0 , nie otrzymasz postaci takiej, jakiej tu wyszła. A że w jakimś przypadku tak wychodzi, to nie jest wystarczające, by dowieść. Poza tym, to że delta jest mniejsza od zera, to w tym przypadku ozancza, ze funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Dowolna liczba podniesiona do kwadratu daje liczby dodatnie. Więc takie coś wg mnie nic nie wnosi... Trzeba i tak poczekać na osobę kompetentną, żeby to wyjaśniła na dobre

mam pytanie dotyczące delty, jak mam mieć w rownaniu kwadratowym dwa rózne pierwiastki to delta ma być wieksza od zera czy wieksza równa zero?
za nic sobie nie moge tego przypomnieć kiedy ta ta delta ma być wieksza równa zero

większa, gdy 2 różne pierwiastki, a gdy powiedziane, że 2 to większa lub równa.

"że 2 to większa lub równa"

moim skormnym zdaniem gdy jest napisane że równanie ma co najmniej jeden pierwiastek...

hej.jak Wam wyszlo w 3 zadaniu ? jakie wspolrzedne tych punktow?

może ktoś podać wyniki do tych zadań? z góry dzięki

Zadanie 3 można rozwiązać o wiele szybciej wykonując działania na wektorach.

Napisałem tą tak na ok 50% - trudne matury układacie. Ale teraz i tak było dużo lepiej niż poprzednio, VII to był dopiero hardcore
W ogóle, świetny serwis prowadzicie, szkoda, że odkryłem go dopiero pod koniec trzeciej klasy :/

Pozdrawiam,
Kuba

zadanie 2 można jeszcze inaczej zrobić:

Weźmy te dwie liczby nieparzyste jako 2n+1 i 2n+3, gdzie \(n \in C\).
\(y=(2n+1)^{2}+(2n+3)^{2}=8n^{2}+16n+10\) - jest to parabola określająca sumę kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych, nieparzystych.

Napiszmy teraz równanie takiej paraboli:

\(y=n^{2}\), gdzie \(n \in C\) - jak widzimy jest to parabola określająca kwadraty liczb calkowitych.

Jeśli te dwie parabole mają punkt wspólny - oznaczać to będzie że suma dwóch kolejnych liczb całkowitych, nieparzystych może być równa kwadratowi liczby całkowitej. Sprawdźmy:

\(\begin{cases} y=8n^{2}+16n+10\\y=n^{2}\end{cases}\\
8n^{2}+16n+10=n^{2}\\
7n^{2}+16n+10=0\\
\Delta=256-280<0\)

Delta jest ujemna, czyli układ nie ma rozwiązań, zatem nie istnieje suma kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych, nieparzystych, która byłaby kwadratem pewnej liczby całkowitej.

Pozdrawiam

PS: Fajna ta maturka była, trochę się pogubiłem w części zadań (za siódme 0 pkt ). Dziękuję bardzo autorom/owi (bo nie wiem czy supergolonka to sam wymyślał) za wszystkie matury, okazały się bardzo przydatne do powtórki materiału i okazały się doskonałym źródłem wymagających zadań.

Ostatnie zadanie z rozszerzonej. Można też obliczyć "n" z równania \(P(A') = \frac 3 {14}\)

A' - wylosowanie dwóch losów niewygrywających, wiemy że jest ich "n-4"

\(P(A') = \frac {n-4} n \cdot \frac {n-5} {n-1} = \frac 3 {14} \\ \ \\
14n^2-126n+280=3n^2-3n \\ \ \\
11n^2-123n+280=0\\ \ \\
\sqrt {\Delta} = 53\\ \ \\
n_1 = \frac {70} {22}\\ \ \\
n_2 = 8\)

Fajna maturka, zrobiłem zadania tylko szkoda że nie ma rozwiązań. :/
mógłby ktos wrzuci odpowiedzi rozszerz.?

Odpowiedzi są, tyle, że trzeba mieć uprawnienia, żeby je obejrzeć (aż tak dużo to nie kosztuje).
Raczej nikt nie powinien "wrzucić odpowiedzi", bo to nielegalne, nieetyczne i obciachowe po prostu

No to chyba wypada zyczyc nam wszystkim szczescia w ta srode Mam nadzieje ze po zrobieniu tych 8 probnych matur nic na tej prawdziwej nas juz nie zaskoczy Powodzenia i oby byly same wyniki >90% Aha no i wypada podziekowac autorom tych matur szkoda ze bylo ich TYLKO 8.Jak dla mnie mogloby ich byc 2x wiecej

Świetne te próbne matury, wielkie podziękowania dla autorów!

maturka generalnie łatwa, na początku zadania wydają się trudne, ale z upływem czasu jakoś to idzie

mam tylko wątpliwości co do zadania nr 10b
co z parą liczb np m=1 n=-2?
za a podstawiam np. 4(dla łatwiejszego liczenia), równanie ma postać
x^2-8x+6
m>n (1>-2)
f(-m^2)=f(-1)=15
f(-n^2)=f(-4)=54
f(-n^2)>f(-m^2)

ktoś mi wytłumaczy gdzie w rozumowaniu mam błąd?

Masz rację, w treści zadania zabrakło założenia o dodatniości liczb m i n.