Od polityki do matematyki

Zabrać bogatym, aby dać biednym

Kontekst poniższego artykułu jest następujący: od nowego roku ma zostać wprowadzony nowy podatek od aktywów bankowych, który w zamierzeniu ma 'zabrać' bankom około 6 mld złotych rocznie. W teorii (w zapowiedziach politycznych) pieniądze te miały pochodzić ze zmniejszenia zysków banków, ale zgodnie z oczekiwaniami koszty nowego podatku banki zaczęły przerzucać na swoich klientów. Pierwszą widoczną zmianą jest podwyższenie marży kredytów hipotecznych przez większość banków. W chwili pisania tego tekstu wiemy, że od nowego roku marże podniosą między innymi banki: Pekao o 0,35 pkt proc., BPH o 0,5 pkt proc., Deutsche Bank o 0,65 pkt proc., Citi Handlowy o 0,6 pkt proc., Eurobank, mBank, Raiffeisen Polbank o 0,4 pkt proc.

W tym miejscu opuszczamy politykę i przechodzimy do matematyki. Pytanie z jakim zwrócili się do mnie moi uczniowie brzmi: jak obliczyć, o ile wzrośnie koszt kredytu hipotecznego, przy opisanych podwyżkach marży?

Kapitał i odsetki

Zacznijmy od wyjaśnienia w jaki sposób ustala się wysokość raty kredytu hipotecznego. Każda rata spłacanego kredytu składa się z dwóch części: części kapitałowej i odsetkowej. W części kapitałowej spłacamy pewną część pożyczonych pieniędzy, a w części odsetkowej płacimy należne odsetki od wciąż niespłaconej części kredytu za okres od momentu płatności poprzedniej raty do momentu wpłaty bieżącej raty (czyli najczęściej za poprzedni miesiąc). Taki sposób płatności rat gwarantuje, że w każdym momencie jesteśmy z bankiem 'na czysto' w kwestii odsetek – np. w chwili zapłacenia 10 raty kredytu mamy w całości uregulowaną kwestię odsetek od kredytu za cały poprzedzający okres. Można też o tym myśleć w ten sposób, że z każdą kolejną ratą zaczynamy kredyt spłacać od nowa, przy czym kwota kredytu po każdej racie ulega zmniejszeniu.

Raty malejące

Wróćmy teraz do pytania jak ustalić wysokość raty kredytu. Odpowiedź zależy od tego jaką część kredytu chcemy spłacać w każdej racie. Najprostszym możliwym podejściem jest spłacanie w każdej racie takiej samej części kredytu – dzielimy w takiej sytuacji kwotę kredytu na liczbę rat i do każdej raty doliczamy należne odsetki.

Spróbujmy prześledzić to na konkretnym przykładzie. Powiedzmy, że pożyczamy od banku 270 tys. zł na 30 lat przy rocznym oprocentowaniu 3,6%. W takim razie część kapitałowa każdej raty to \(\frac{2700000}{30\cdot 12}=750\) złotych. Do tego musimy doliczyć odsetki. Odsetki w pierwszej racie to \(270000\cdot \frac{0,036}{12}=810\) złotych (oprocentowanie dzielimy przez 12, bo kredyt spłacamy miesięcznie). Odsetki w drugiej racie to \(269250\cdot \frac{0,036}{12}=807,75\) złotych itd. Kolejne raty kredytu będą więc równe (w złotych):

Można sprawdzić, że całkowita suma odsetek w tym przypadku (czyli koszt kredytu) wyniesie 146205 zł.

Raty stałe

Przedstawiony powyżej sposób obliczania raty kredytu jest bardzo prosty, ale pewną jego wadą jest to, że otrzymujemy w ten sposób malejące wysokości rat (bo odsetki naliczamy od coraz mniejszej pozostałej do spłaty kwoty kredytu). Z tego powodu większość kredytobiorców wybiera inny sposób obliczania wysokości raty, w którym wszystkie raty mają tę samą wysokość. Obliczenie wysokości raty przy takim założeniu jest bardziej skomplikowane, bo w każdej racie będzie się zmieniała zarówno część kapitałowa jak i odsetkowa. Gotowy wzór na wysokość raty w tej sytuacji jest następujący: \(R=\frac{Kq^n(q-1)}{q^n-1}\), gdzie K jest wysokością kredytu, r jego rocznym oprocentowaniem i \(q=1+\frac{r}{12}\). Wyprowadzenie tego wzoru to dobre ćwiczenie na procent składany i można je znaleźć tu.

Stosując ten wzór do tego samego kredytu, którym zajmowaliśmy wcześniej, czyli do kredytu w wysokości 270000 zł udzielonego na 30 lat z oprocentowaniem 3,6% otrzymamy \(q=1+\frac{0,036}{12}=1,003\) i ratę kredytu równą \(R=270000\cdot \frac{1,003^{360}\cdot 0,003}{(1,003^{360}-1)}=1227,54\) złote.

Całkowity koszt kredytu (suma odsetek) w tej sytuacji to \(360\cdot R-270000=171914,4\) złote.

Ile trzeba zabrać biednym, że móc zabrać bogatym

Po tych wnikliwych wywodach dotyczących sposobu naliczania rat kredytowych jesteśmy gotowi, aby ustalić o ile wzrośnie koszt kredytu przy wzroście marży banku (a więc pośrednio oprocentowania) o 0,4 pkt procentowego.

Powiedzmy, że zajmujemy się tym samym kredytem, co poprzednio, ale tym razem oprocentowanie roczne jest równe 4%. Mamy wtedy \(q=1+\frac{r}{12}=\frac{301}{300}\) i \(R=270000\cdot \frac{q^{360}(q-1)}{q^{360}-1}=1289,02\) złote. Rata wzrośnie więc o 1289,02-1227,54=61,48 zł, a całkowity koszt kredytu o \(360\cdot 61,48=22132,80\) zł.

Warto pamiętać o tym rachunku, gdy słuchamy polityków zapewniających nas o 'łatwych sposobach' zabrania pieniędzy bogatym.