Zadania na poziomie podstawowym
Zadania na poziomie rozszerzonym
Aby maksymalnie wykorzystać tę okazję do sprawdzenia swoich umiejętności radzimy spróbować rozwiązać te zadania w warunkach maksymalnie zbliżonych do egzaminacyjnych. W tym celu
Powinno to być oczywiste, ale rozwiązywanie zadań w warunkach egzaminacyjnych jest bardzo specyficzne. Trzeba umieć radzić sobie ze stresem związanym z egzaminem, ze stresem związanym z brakiem wystarczającej ilości czasu, ze stresem związanym z brakiem wystarczającej ilości miejsca do pisania (wszystko co napiszemy musimy oddać). Z tego powodu radzimy już w tej chwili zacząć się przyzwyczajać do takich warunków.
Rozwiązania zadań.
Powodzenia na egzaminie!
Właśnie zamieściliśmy arkusze VIII próbnej matury.
http://www.zadania.info/n/9834122
Do jutra (28 kwietnia) do godz. 16 wszystkie posty na temat zadań i rozwiązań zadań z tych arkuszy będą usuwane.
Jeżeli macie wątpliwości co do poprawności treści zadań to piszcie na
supergolonkaMALPAzadania.info
Rozwiązania zadań:
Podstawa
Rozszerzenie
Witam, mam pytania co do dziewiątego zadania.
W rozwiązaniach wszystkie zdarzenia elementarne (omega) są policzone jako kombinacje:
\(\frac{n!}{k!(n-k)!}\)
Skoro "losujemy bez zwracania" to czy nie powinno być wariacji bez powtórzeń?
\(\frac{n!}{(n-k)!}\)
Nie jest ważna kolejność wylosowanych liczb dlatego kombinacje 
Co do drugiego zadania, warto od razu zauważyć, że z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej wynika \(|x+20|+|x+28| \ge 8\).
Można to też szybko algebraicznie pokazać, wystarczy skorzystać z: \(|a|+|b|= \text{max} \left\{|a+b|,|a-b| \right\}\), czyli:\(|x+20|+|x+28|=\text{max} \left\{|2x+48|,8 \right\} \ge 8\).
Jeśli w szóstym zadaniu nie widać jak to rozłożyć to jak zawsze pomocna metoda Ferrariego 
kamil13151 pisze:Jeśli w szóstym zadaniu nie widać jak to rozłożyć to jak zawsze pomocna metoda Ferrariego
Uczysz jej osoby w liceum?
Szczerze to nie słyszałem o takiej metodzie. Można pokrótce przybliżyć?
Jack1994 pisze:Szczerze to nie słyszałem o takiej metodzie. Można pokrótce przybliżyć?
Google pomogą 
Ogólnie jedna z metod rozwiązywania równań stopnia 4-ego
Rozłóżmy na czynniki: \(x^4-x^3+3x^2-2x+2=0\). Idea metody: chcemy mieć różnicę kwadratów.
\(x^4-x^3=-3x^2+2x-2\) (obustronnie dodajmy \(\frac{1}{4}x^2\))
\(x^4-x^3+\frac{1}{4}x^2=-3x^2+\frac{1}{4}x^2+2x-2\)
\((x^2- \frac{1}{2}x)^2 =-3x^2+\frac{1}{4}x^2+2x-2\) (żeby było nam łatwiej pomnóżmy przez 4.
\((1) \ \ (2x^2-x)^2=-11x^2+8x-8\)
Teraz dodajmy parametr \(y\).
\((2x^2-x+y)^2-(2x^2-x)^2=4x^2y-2xy+y^2\), czyli do równania \((1)\) musimy obustronnie dodać: \(4x^2y-2xy+y^2\)
\((2x^2-x+y)^2=-11x^2+8x-8+(4x^2y-2xy+y^2)\)
\((2x^2-x+y)^2=x^2(-11+4y)+x(8-2y)-8+y^2\)
Teraz prawą stronę chcemy zwinąć do kwadratu, czyli \(\Delta=0\). Po rozwiązaniu \((8-2y)^2-4(-11+4y)(-8+y^2)=0\) otrzymujemy jedno z rozwiązań, szukamy najprostszego, \(y=3\).
Zatem dla \(y=3\) mamy:
\((2x^2-x+3)^2=x^2+2x+1\)
Dalej już prosto:
\((2x^2-x+3)^2=(x+1)^2\)
\((2x^2-x+3)^2-(x+1)^2=0\)
\((2x^2+4)(2x^2-2x+2)=0\) (dla uproszczenia podzielmy przez 4)
\((x^2+2)(x^2-x+1)=0\)
Ta metoda nie jest trudna, oczywiście dla maturzystów, którzy piszą maturkę rozszerzoną co najmniej na jakieś 50%.
Z góry przepraszam za nie używanie LaTeXa, ale nigdy wcześniej z niego nie korzystałem.
Mam pytanie dotyczące zadania 3. Z tego co widzę, w rozwiązaniu założyliśmy, że alfa + beta < 90 stopni, w związku z czym kąt (180-(alfa+beta)) należy do II ćwiartki i cosinus wynosi -cos(alfa+beta). Skąd tak naprawdę o tym wiemy ? Jeśli dobrze rozumuję nie wynika to z warunków zadania i jeśli alfa + beta > 90 stopni, to cosinus wyjdzie z plusem, a nie z minusem i rozwiązanie (chyba) nie wyjdzie takie jak trzeba.
Zawsze cos(180-(a+b))=-cos(a+b) niezależnie od wartości a+b. Nic nie zakładamy o a+b.
Zadanie 8. Dlaczego tą skalę k liczymy p[rzyrównując akurat te boki ? CA leży naprzeciw kąta prostego, a CN nie
CN też leży naprzeciwko kąta prostego przecież 
A ja mam pytanie do zadania 6. Spróbowałem to udowodnić inaczej niż jest pokazane w odpowiedziach i chciałbym wiedzieć czy jest to dobrze, a mianowicie mój tok myślenia.
przekształcam do postaci
\(x^2(x^2-x+3)-2(x-1)>0\)
\(x^2(x^2-x+3)>2(x-1)\)
i teraz o \(x^2-x+3\) wiem że \(\Delta <0\) i \(a>0\) czyli dla każdego \(x \in R\) wyrażenie jest dodatnie oraz wykazuje ponadto że \(x^2>2x-2\)
(przenosze x i wyliczam delte) wiec otrzymuje że dla każdego x należącego do R \(-x^2-2x-2<0\)
wiec jesli \(x^2>2x-2\) to prawdą będzie że \(x^2(x^2-x+3)>2(x-1)\) dla \(x \in R\)
Dobrze rozumuje?
Z tego, że \(x^2>2x-2\) i \(x^2-x+3>0\) nie musi wynikać, że \(x^2(x^2-x+3)>2x-2\). Tak jest, bo
\(x^2-x+3\) mogłoby być bardzo małą liczbą. Z drugiej strony można to rozumowanie chyba poprawić, wystarczy pokazać, że \(x^2-x+3>1\) (co też jest prawdą) i wtedy będzie OK.
kacper218 pisze:Nie jest ważna kolejność wylosowanych liczb dlatego kombinacje
A no tak, źle sobie popatrzyłem, dzięki 
.
Mam takie pytanie jeszcze odnośnie zadania 4 na rozszerzonej (dowód).
Zrobiłem tak jak jest podane na stronie w rozwiązaniach, ale ciekawi mnie czy poprawny byłby dowód gdyby do równania z warunku podstawić a=b i sprawdzić, że się zgadza?
Nie, to nie w tą stronę. Masz pokazać, że jak jest wyrażenie to a=b, a podstawiając sprawdzasz w drugą stronę, że jak a=b to jest wyrażenie (co jest oczywiste).
ok. dzięki
Mam takie pytanko odnosnie zadania 7. Obliczylam punkty wspolne dwoch okregow, ale nie wiem jak teraz z tego stworzyc rownanie okregu przechodzacego przez te dwa punkty... Doradzi ktos?
przez 2 punkty przechodzi nieskończenie wiele okręgów wykorzystaj jeszcze jedną informacje dana w zadaniu
No tak, promien tez znam Ale nie mam pojecia jak to wykorzystac...
długość \(|SA|=|SB|=r\) gdzie A i B to obliczone punkty
W ten sposób dostajesz środek
No taaaaak! dzieki !
Co do zad. 6, przedstawiam mój sposob, wydaje mi sie że dużo prostszy...
x^4-x^3+3x^2-2x+x>0
Łatwo można zauważyć ze można to rozbić w taki sposob:
x^4-x^3+x^2+2x^2-2x=2>0
x^2(x^2-x+1)+2(x^2-x+1)>0
(x^2-x+1)(x^2+2)>0
ramiona skierowane do góry, a delta w obydwu przypadkach mniejsza od zera, co za tym idzie równanie jest spelnione dla każdego x.
Udało mi się zrobić zadanie 2 innym sposobem, końcówka jest taka sama jak w sposobie rozwiązania z odpowiedzi. Tu jest link do mojego sposobu: http://db.tt/Tg3EDFHc , czy jest to poprawne?
I jeszcze mam pytanie odnośnie 3 zadania. Nie rozumiem do końca przejścia 1- cos(180-(a+b)) = 1 + cos (a+b) . Skoro cos gamma został tak rozpisany to wygląda na to że gamma kąt musiał być większy od 90 stopni, czyli być w drugiej cwiartce by zaszło takie skrócenie analogicznie do np. cos150= cos(180-30) = -cos30
nie musi być w drugiej ćwiartce ten kąt. wzory redukcyjne działają dla dowolnego kąta
twój sposób na zadanie trzecie jest ok.
Wiem że wzory redukcyjne działają dla dowolnego kąta. Chodzi o to że w rozwiązaniu nagle pojawił się plus co oznacza że po uproszczeniu wyrażania na cosinus został wykorzystany wzór cos150 = cos180-30) = -cos30, a nie np. cos70 = cos (180-110) = cos110 ???
sam sobie zaprzeczasz. w obu przypadkach trzeba zmienić znak na przeciwny.
Racja musi być cos70 = cos(180-110) = -cos110 , bo przecież cos dla 70 jest dodatni a cos dla 110 ujemny więc aby L=P trzeba tam wstawić tego minusa. Czyli okazuje się że niezależnie jaki kąt gamma byśmy sobie wzięli (0,pi) to takie uproszczenie w dowodzie będzie właściwe.
polecam post Galena:
http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=3&t=52228
wytłumaczone jak dla mnie bardzo dobrze
Mam pytanie odnośnie zadania 9 z pudelkiem i kulami: nie mogę sobie racjonalnie wytłumaczyć dlaczego robiąc modyfikacje 1 sposobu rozwiązania wychodzi mi moc A większe od Omegi. Zdardzenia sprzyjające chcę policzyć w taki sposób: jedną parę której suma daje 16 mogę wybrać na 7 sposobów , dwie kolejne liczby wybieram poprzez wybranie najpierw 2 par z 6 czyli 15 par i z każdej mogę wybrać liczbę na 2 sposoby , czyli mam 7*15*2*2 i teraz ostatnia liczbę mogę wybrać na 11 sposobow bo cztery wcześniej zostały już zdefiniowane, więc dostaję 7*15*2*2*11. Co w tym jest złego?
 Dodaj nowy komentarz |
Informacje
Zadania
Losowe zadanie