VIII próbna matura 2013 z matematyki z zadania.info
27 kwietnia 2013
Zadania na poziomie podstawowym
Zadania na poziomie rozszerzonym
Aby maksymalnie wykorzystać tę okazję do sprawdzenia swoich umiejętności radzimy spróbować rozwiązać te zadania w warunkach maksymalnie zbliżonych do egzaminacyjnych. W tym celu
- Postarajcie się wygospodarować odpowiednią ilość czasu (170 minut na poziomie podstawowym i 3 godziny na rozszerzonym) tak, aby zadania rozwiązywać bez przerw.
- Korzystajcie tylko z takich przyborów jakie są dopuszczone na egzaminie: prosty kalkulator, linijka, cyrkiel, tablice wzorów.
- Starajcie się zmieścić rozwiązania na arkuszach egzaminacyjnych.
- Starajcie się maksymalnie wykorzystać czas. Jeżeli zostanie wam czas, to myślcie nad zadaniami, których nie udało wam się rozwiązać. Jeżeli uda wam się rozwiązać wszystkie zadania, to sprawdźcie swoje rozwiązania.
Powinno to być oczywiste, ale rozwiązywanie zadań w warunkach egzaminacyjnych jest bardzo specyficzne. Trzeba umieć radzić sobie ze stresem związanym z egzaminem, ze stresem związanym z brakiem wystarczającej ilości czasu, ze stresem związanym z brakiem wystarczającej ilości miejsca do pisania (wszystko co napiszemy musimy oddać). Z tego powodu radzimy już w tej chwili zacząć się przyzwyczajać do takich warunków.
Rozwiązania zadań.
Powodzenia na egzaminie!
Właśnie zamieściliśmy arkusze VIII próbnej matury.
http://www.zadania.info/n/9834122
Do jutra (28 kwietnia) do godz. 16 wszystkie posty na temat zadań i rozwiązań zadań z tych arkuszy będą usuwane.
Jeżeli macie wątpliwości co do poprawności treści zadań to piszcie na
supergolonkaMALPAzadania.info
Rozwiązania zadań:
Podstawa
Rozszerzenie
Witam, mam pytania co do dziewiątego zadania.
W rozwiązaniach wszystkie zdarzenia elementarne (omega) są policzone jako kombinacje:
\(\frac{n!}{k!(n-k)!}\)
Skoro "losujemy bez zwracania" to czy nie powinno być wariacji bez powtórzeń?
\(\frac{n!}{(n-k)!}\)
Nie jest ważna kolejność wylosowanych liczb dlatego kombinacje
Co do drugiego zadania, warto od razu zauważyć, że z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej wynika \(|x+20|+|x+28| \ge 8\).
Można to też szybko algebraicznie pokazać, wystarczy skorzystać z: \(|a|+|b|= \text{max} \left\{|a+b|,|a-b| \right\}\), czyli:\(|x+20|+|x+28|=\text{max} \left\{|2x+48|,8 \right\} \ge 8\).
Jeśli w szóstym zadaniu nie widać jak to rozłożyć to jak zawsze pomocna metoda Ferrariego
Szczerze to nie słyszałem o takiej metodzie. Można pokrótce przybliżyć?
Rozłóżmy na czynniki: \(x^4-x^3+3x^2-2x+2=0\). Idea metody: chcemy mieć różnicę kwadratów.
\(x^4-x^3=-3x^2+2x-2\) (obustronnie dodajmy \(\frac{1}{4}x^2\))
\(x^4-x^3+\frac{1}{4}x^2=-3x^2+\frac{1}{4}x^2+2x-2\)
\((x^2- \frac{1}{2}x)^2 =-3x^2+\frac{1}{4}x^2+2x-2\) (żeby było nam łatwiej pomnóżmy przez 4.
\((1) \ \ (2x^2-x)^2=-11x^2+8x-8\)
Teraz dodajmy parametr \(y\).
\((2x^2-x+y)^2-(2x^2-x)^2=4x^2y-2xy+y^2\), czyli do równania \((1)\) musimy obustronnie dodać: \(4x^2y-2xy+y^2\)
\((2x^2-x+y)^2=-11x^2+8x-8+(4x^2y-2xy+y^2)\)
\((2x^2-x+y)^2=x^2(-11+4y)+x(8-2y)-8+y^2\)
Teraz prawą stronę chcemy zwinąć do kwadratu, czyli \(\Delta=0\). Po rozwiązaniu \((8-2y)^2-4(-11+4y)(-8+y^2)=0\) otrzymujemy jedno z rozwiązań, szukamy najprostszego, \(y=3\).
Zatem dla \(y=3\) mamy:
\((2x^2-x+3)^2=x^2+2x+1\)
Dalej już prosto:
\((2x^2-x+3)^2=(x+1)^2\)
\((2x^2-x+3)^2-(x+1)^2=0\)
\((2x^2+4)(2x^2-2x+2)=0\) (dla uproszczenia podzielmy przez 4)
\((x^2+2)(x^2-x+1)=0\)
Ta metoda nie jest trudna, oczywiście dla maturzystów, którzy piszą maturkę rozszerzoną co najmniej na jakieś 50%.
Z góry przepraszam za nie używanie LaTeXa, ale nigdy wcześniej z niego nie korzystałem.
Mam pytanie dotyczące zadania 3. Z tego co widzę, w rozwiązaniu założyliśmy, że alfa + beta < 90 stopni, w związku z czym kąt (180-(alfa+beta)) należy do II ćwiartki i cosinus wynosi -cos(alfa+beta). Skąd tak naprawdę o tym wiemy ? Jeśli dobrze rozumuję nie wynika to z warunków zadania i jeśli alfa + beta > 90 stopni, to cosinus wyjdzie z plusem, a nie z minusem i rozwiązanie (chyba) nie wyjdzie takie jak trzeba.
Zawsze cos(180-(a+b))=-cos(a+b) niezależnie od wartości a+b. Nic nie zakładamy o a+b.
Zadanie 8. Dlaczego tą skalę k liczymy p[rzyrównując akurat te boki ? CA leży naprzeciw kąta prostego, a CN nie
CN też leży naprzeciwko kąta prostego przecież
A ja mam pytanie do zadania 6. Spróbowałem to udowodnić inaczej niż jest pokazane w odpowiedziach i chciałbym wiedzieć czy jest to dobrze, a mianowicie mój tok myślenia.
przekształcam do postaci
\(x^2(x^2-x+3)-2(x-1)>0\)
\(x^2(x^2-x+3)>2(x-1)\)
i teraz o \(x^2-x+3\) wiem że \(\Delta <0\) i \(a>0\) czyli dla każdego \(x \in R\) wyrażenie jest dodatnie oraz wykazuje ponadto że \(x^2>2x-2\)
(przenosze x i wyliczam delte) wiec otrzymuje że dla każdego x należącego do R \(-x^2-2x-2<0\)
wiec jesli \(x^2>2x-2\) to prawdą będzie że \(x^2(x^2-x+3)>2(x-1)\) dla \(x \in R\)
Dobrze rozumuje?
Z tego, że \(x^2>2x-2\) i \(x^2-x+3>0\) nie musi wynikać, że \(x^2(x^2-x+3)>2x-2\). Tak jest, bo
\(x^2-x+3\) mogłoby być bardzo małą liczbą. Z drugiej strony można to rozumowanie chyba poprawić, wystarczy pokazać, że \(x^2-x+3>1\) (co też jest prawdą) i wtedy będzie OK.
Mam takie pytanie jeszcze odnośnie zadania 4 na rozszerzonej (dowód).
Zrobiłem tak jak jest podane na stronie w rozwiązaniach, ale ciekawi mnie czy poprawny byłby dowód gdyby do równania z warunku podstawić a=b i sprawdzić, że się zgadza?
Nie, to nie w tą stronę. Masz pokazać, że jak jest wyrażenie to a=b, a podstawiając sprawdzasz w drugą stronę, że jak a=b to jest wyrażenie (co jest oczywiste).
ok. dzięki
Mam takie pytanko odnosnie zadania 7. Obliczylam punkty wspolne dwoch okregow, ale nie wiem jak teraz z tego stworzyc rownanie okregu przechodzacego przez te dwa punkty... Doradzi ktos?
przez 2 punkty przechodzi nieskończenie wiele okręgów
wykorzystaj jeszcze jedną informacje dana w zadaniu 
No tak, promien tez znam
Ale nie mam pojecia jak to wykorzystac...
długość \(|SA|=|SB|=r\) gdzie A i B to obliczone punkty
W ten sposób dostajesz środek
No taaaaak! dzieki !
Co do zad. 6, przedstawiam mój sposob, wydaje mi sie że dużo prostszy...
x^4-x^3+3x^2-2x+x>0
Łatwo można zauważyć ze można to rozbić w taki sposob:
x^4-x^3+x^2+2x^2-2x=2>0
x^2(x^2-x+1)+2(x^2-x+1)>0
(x^2-x+1)(x^2+2)>0
ramiona skierowane do góry, a delta w obydwu przypadkach mniejsza od zera, co za tym idzie równanie jest spelnione dla każdego x.
Udało mi się zrobić zadanie 2 innym sposobem, końcówka jest taka sama jak w sposobie rozwiązania z odpowiedzi. Tu jest link do mojego sposobu: http://db.tt/Tg3EDFHc , czy jest to poprawne?
I jeszcze mam pytanie odnośnie 3 zadania. Nie rozumiem do końca przejścia 1- cos(180-(a+b)) = 1 + cos (a+b) . Skoro cos gamma został tak rozpisany to wygląda na to że gamma kąt musiał być większy od 90 stopni, czyli być w drugiej cwiartce by zaszło takie skrócenie analogicznie do np. cos150= cos(180-30) = -cos30
nie musi być w drugiej ćwiartce ten kąt. wzory redukcyjne działają dla dowolnego kąta
twój sposób na zadanie trzecie jest ok.
Wiem że wzory redukcyjne działają dla dowolnego kąta. Chodzi o to że w rozwiązaniu nagle pojawił się plus co oznacza że po uproszczeniu wyrażania na cosinus został wykorzystany wzór cos150 = cos180-30) = -cos30, a nie np. cos70 = cos (180-110) = cos110 ???
sam sobie zaprzeczasz. w obu przypadkach trzeba zmienić znak na przeciwny.
Racja musi być cos70 = cos(180-110) = -cos110 , bo przecież cos dla 70 jest dodatni a cos dla 110 ujemny więc aby L=P trzeba tam wstawić tego minusa. Czyli okazuje się że niezależnie jaki kąt gamma byśmy sobie wzięli (0,pi) to takie uproszczenie w dowodzie będzie właściwe.
polecam post Galena:
http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=3&t=52228
wytłumaczone jak dla mnie bardzo dobrze
Mam pytanie odnośnie zadania 9 z pudelkiem i kulami: nie mogę sobie racjonalnie wytłumaczyć dlaczego robiąc modyfikacje 1 sposobu rozwiązania wychodzi mi moc A większe od Omegi. Zdardzenia sprzyjające chcę policzyć w taki sposób: jedną parę której suma daje 16 mogę wybrać na 7 sposobów , dwie kolejne liczby wybieram poprzez wybranie najpierw 2 par z 6 czyli 15 par i z każdej mogę wybrać liczbę na 2 sposoby , czyli mam 7*15*2*2 i teraz ostatnia liczbę mogę wybrać na 11 sposobow bo cztery wcześniej zostały już zdefiniowane, więc dostaję 7*15*2*2*11. Co w tym jest złego?