Zestaw użytkownika nr 1346_6793

Zestaw użytkownika
nr 1346_6793

Zadanie 1

(5 pkt)

Prostokąt ABCD obracając się wokół boku , zakreślił walec w 1 . Ten sam prostokąt obracając się wokół boku , zakreślił walec . Otrzymane walce mają równe pola powierzchni całkowitych. Wykaż, że prostokąt ABCD jest kwadratem.

Zadanie 2

(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD o bokach długości |AB | = 7 i |BC | = 14 . Krawędź jest prostopadła do podstawy. Najdłuższa krawędź boczna tworzy z podstawą kąt 50∘ . Wykonaj rysunek pomocniczy tego ostrosłupa oraz oblicz jego objętość.

Zadanie 3

(5 pkt)

W stożek o promieniu i wysokości wpisujemy graniastosłupy sześciokątne prawidłowe tak, że jedna podstawa jest zawarta w podstawie stożka, a pozostałe wierzchołki należą do powierzchni bocznej stożka. Podaj wymiary graniastosłupa o największym polu powierzchni bocznej.

Zadanie 4

(5 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę , zaś odległość wierzchołka podstawy od krawędzi bocznej, do której nie należy, jest równa . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Zadanie 5

(5 pkt)

Dany jest zbiór wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 216. Oblicz długość krawędzi podstawy i wysokość tego z danych graniastosłupów, który ma największe pole powierzchni bocznej.

Zadanie 6

(5 pkt)

Trzy wychodzące z jednego wierzchołka krawędzie równoległościanu są równe a,b i . Krawędzie i są prostopadłe, a krawędź tworzy z każdą z nich kąt ostry . Oblicz objętość równoległościanu.

Zadanie 7

(5 pkt)

W ostrosłupie ABCS podstawa ABC jest trójkątem prostokątnym, |∡ACB | = 90∘ . Sinus jednego z kątów ostrych podstawy jest równy 0,6 . Promień okręgu opisanego na podstawie ma długość 10cm. Wysokość ostrosłupa ma długość 24cm. Oblicz:

objętość ostrosłupa;
tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa, zawierającej przeciwprostokątną podstawy, do płaszczyzny podstawy.

Zadanie 8

(5 pkt)

Danych jest osiem kul z numerami od 1 do 8, oraz dziesięć szuﬂad z numerami od 1 do 10. Rozmieszczamy w dowolny sposób kule w szuﬂadach. Oblicz prawdopodobieństwa następujących zdarzeń:

– wszystkie kule znajdą się w szuﬂadach z numerami parzystymi.
– dokładnie dwie szuﬂady pozostaną puste.

Zadanie 9

(5 pkt)

Dany jest wielomian 3 2 W (x) = 8x − 6x + ax+ b . Jednym pierwiastkiem wielomianu jest prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej 2 razy orła w trzykrotnym rzucie monetą. Drugi pierwiastek jest równy prawdopodobieństwu wypadnięcia parzystej liczby oczek na każdej kostce w rzucie dwiema kostkami. Wyznacz trzeci pierwiastek wielomianu.

Zadanie 10

(5 pkt)

Niech będzie liczbą naturalną. Ze zbioru liczb {1,2,3 ,...,2n+ 1} losujemy dwie liczby (mogą być równe). Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb będzie większa od 2n + 1 .

Zadanie 11

(5 pkt)

W zbiorze Z = {− 2n + 1,− 2n + 3,...,− 3,− 1,0,1,3,...,2n − 3,2n − 1} , gdzie n > 4 jest liczbą naturalną, zmieniono znaki na przeciwne trzem losowo wybranym liczbom. Wiadomo, że prawdopodobieństwo tego, że suma wszystkich liczb w zbiorze nie uległa zmianie wynosi 1-- 161 . Wyznacz .

Zadanie 12

(5 pkt)

Ze zbioru Z = { 1,2,3,...,2n + 1} , gdzie n ∈ N wylosowano równocześnie dwie liczby. Wyznacz , tak aby prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest liczbą nieparzystą było większe od 713- .

Zadanie 13

(5 pkt)

Uzasadnij, że

1 P ((A′ ∪ B) ∩ A) ≥ -, 6

jeżeli ′ 1 P(A ) = 3 i ′ 1 P(B ) = 2 .

Zadanie 14

(5 pkt)

Ze zbioru {− 2n,− (2n − 1 ),...,− 1 ,0 ,1,...,2n − 1,2n} losujemy ze zwracaniem dwie liczby: i . Rozważmy zdarzenia
: a + b jest liczbą parzystą;
: |a| + |b| ≤ 2n .
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia P(A ∩ B) .

Zadanie 15

(5 pkt)

Ze zbioru X = {x ∈ C : |x + 4| ≤ 2} losujemy dwa razy (bez zwracania) po jednej liczbie. Oznaczamy te liczby w kolejności losowania przez oraz . Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowana para liczb (a,b) jest rozwiązaniem nierówności x − y − 2 < 0 .

Arkusz Wersja PDF