Zestaw użytkownika nr 2681_6183

sprawdzian maturalny 1. semestr

Zadanie 1

(5 pkt)

Wykaż, że jeżeli a > 0 i b > 0 oraz √ -- √ -- a + b = b + a to a = b lub √ -- √ -- a + b = 1 .

Zadanie 2

(5 pkt)

Uzasadnij, że jeśli ac + bd = bc + ad to a = b lub c = d .

Zadanie 3

(5 pkt)

Oblicz wartość wyrażenia log2 3+ log 16 log-36⋅log-486+log2-4 6 6 6 .

Zadanie 4

(5 pkt)

Funkcja dana jest wzorem

1 f(x) = log 1------. 22 − x

Określ dziedzinę funkcji i naszkicuj jej wykres w przedziale ⟨− 6,0⟩ .

Zadanie 5

(5 pkt)

Wykaż, że wyrażenie −-cos2x- -1- sinxcosx = tg x + tgx nie jest tożsamością.

Zadanie 6

(5 pkt)

Wykaż, że nie istnieje kąt , dla którego spełniona jest równość sin α cosα = 45 .

Zadanie 7

(5 pkt)

Sinus pewnego kąta ostrego , liczba 2 3 oraz cosinus tego samego kąta tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Oblicz sumę sin α + cos α .

Zadanie 8

(5 pkt)

Ciąg (an) określony jest wzorem n+ 1 n n−1 an = 2 + 2 + 2 .

Oblicz pierwszy i trzeci wyraz tego ciągu.
Uzasadnij, korzystając z deﬁnicji ciągu geometrycznego, że ciąg jest geometryczny.

Zadanie 9

(5 pkt)

Dla jakich wartości parametru równanie 2 |x − 2| = a − 3a − 2 ma dwa pierwiastki różnych znaków?

Zadanie 10

(5 pkt)

Różnymi pierwiastkami równania kwadratowego 2 (m − 2)x − 2x + 1 = 0 są liczby oraz . Narysuj wykres funkcji f (m) = |x 1 + x 2 + x 1 ⋅x2| .

Zadanie 11

(5 pkt)

Zbadaj dla jakich wartości parametru punkt przecięcia się prostych mx + (2m − 1)y − 3m = 0 i x + my − m = 0 należy do prostokąta o wierzchołkach A = (−1 ,−2 ), B = (1,− 2), C = (1,2), D = (− 1,2) ?

Zadanie 12

(5 pkt)

Za pomocą rachunku wektorowego pokazać, że środki boków dowolnego czworokąta tworzą wierzchołki równoległoboku.

Zadanie 13

(5 pkt)

Na płaszczyźnie dane są punkty A = (3,− 2), B = (11,4) . Na prostej o równaniu y = 8x + 10 znajdź punkt , dla którego suma |AP |2 + |BP |2 jest najmniejsza.

Zadanie 14

(5 pkt)

Dany jest czworokąt o kolejnych bokach długości 3,4,5 oraz kącie między bokami długości 3 i 4 takim, że cosα = − 111 . Wyznacz długość czwartego boku, jeśli wiadomo, że na czworokącie można opisać okrąg.

Zadanie 15

(5 pkt)

Wyznacz liczbę , wiedząc że n n (3)− (2) = 14 .

Zadanie 16

(5 pkt)

Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają nierówności 0 < a < b < c , to

a-+-b+--c > a-+-b-. 3 2

Zadanie 17

(5 pkt)

Antek zatrudnił się przy zbiórce truskawek. Każdego dnia zbiera taką samą liczbę kilogramów owoców i w sumie uzbierał 96 kilogramów. Gdyby każdego dnia zbierał o 4 kilogramy więcej, to tę samą ilość owoców uzbierałby w czasie krótszym o cztery dni. Oblicz, ile kilogramów owoców zbierał Antek każdego dnia i w ciągu ilu dni je zebrał.

Zadanie 18

(5 pkt)

Dziadek założył w banku trzyletnią lokatę pieniężną o stałej rocznej stopie procentowej równej 5% (już po uwzględnieniu podatków i prowizji). Odsetki są kapitalizowane po każdym roku trwania lokaty. Całość środków, otrzymanych z banku po zlikwidowaniu lokaty, dziadek podzielił równo pomiędzy dziewięcioro wnucząt tak, że każde z dzieci otrzymało 1029 zł. Oblicz początkową kwotę lokaty.

Zadanie 19

(5 pkt)

Motorówka płynęła z prądem rzeki od przystani do przystani przez 40 minut, a wracała 56 minut. Oblicz prędkość motorówki i prędkość prądu rzeki, jeżeli przystanie i są odległe o 14km.

Zadanie 20

(5 pkt)

Państwo Nowakowie przeznaczyli 26000 zł na zakup działki. Do jednej z ofert dołączono rysunek w skali 1:1000 dwóch przylegających do siebie działek. Jeden metr kwadratowy gruntu w tej ofercie kosztuje 35 zł. Oblicz, czy przeznaczona przez państwa Nowaków kwota wystarczy na zakup działki P 2 .

Arkusz Wersja PDF