Zestaw użytkownika nr 3850_8029

Zestaw użytkownika
nr 3850_8029

Zadanie 1

Pierwszy wyraz malejącego ciągu arytmetycznego (an) jest równy 3, a iloczyn wyrazów czwartego i piątego równy jest 15. Oblicz różnicę ciągu (an) oraz sumę 14 jego początkowych wyrazów.

Zadanie 2

Podstawy czterech logarytmów liczby tworzą ciąg geometryczny o ilorazie . Wyznacz pierwszy z tych logarytmów jeśli jest on mniejszy od -1 oraz suma dwóch pierwszych logarytmów jest równa sumie dwóch pozostałych

Zadanie 3

Trzy początkowe wyrazy malejącego ciągu arytmetycznego są pierwiastkami wielomianu √ -- √ -- W (x) = x3 − 3 2x2 + 5x − 2 , a jednym z nich jest √ -- 2 .

Znajdź pierwszy wyraz tego ciągu.
Oblicz sumę .

Zadanie 4

Podaj wzór na -ty wyraz ciągu (an) , jeżeli a1 = 5 i an+1 = 2an dla n ≥ 1 .

Zadanie 5

Iloczyn dziewięciu kolejnych początkowych wyrazów pewnego ciągu geometrycznego wynosi 512. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.

Zadanie 6

Trzynasty wyraz ciągu geometrycznego jest równy 10. Oblicz wartość iloczynu dwudziestu pięciu początkowych wyrazów tego ciągu.

Zadanie 7

Udowodnij, że w ciągu geometrycznym (an) o wyrazach dodatnich iloczyn k > 1 początkowych wyrazów ciągu jest równy ∘ --------- (a1 ⋅ak)k .

Zadanie 8

Wykaż, że jeżeli (an) jest ciągiem geometrycznym, to ciąg (bn) o wyrazie ogólnym określonym wzorem bn = 5a2n też jest ciągiem geometrycznym.

Zadanie 9

Oblicz sumę nieskończonego ciągu geometrycznego 1 , 0,5, 0,25, 0,125, ...

Zadanie 10

Wykaż, że suma szeregu geometrycznego zbieżnego jest ujemna wtedy i tylko wtedy, gdy jego pierwszy wyraz jest ujemny.

Zadanie 11

Wykaż, że jeżeli liczby b, c, 2b− a są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to liczby ab , b2, c2 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Zadanie 12

Dana jest funkcja określona wzorem f(x) = 3x − 5 .

Wyznacz ogólny wyraz ciągu wiedząc, że:
$a1 = f(2), a 2 = f(4), a3 = f(6),...,an = f(2n),....$
Uzasadnij, że ciąg jest ciągiem arytmetycznym.
Oblicz sumę .