/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Udowodnij/Długość

Zadanie nr 5830326

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Proste zawierające cięciwy AB i CD okręgu o przecinają się w punkcie P , który nie należy do okręgu o . Wykaż, że

|PA |⋅|P B| = |PC |⋅|PD |.

(Jest to tzw. twierdzenie o siecznych okręgu.)

Rozwiązanie

Jeżeli zaczniemy szkicować opisaną sytuację, to z pewnością zauważymy, że są dwie możliwe konfiguracje – punkt P może leżeć wewnątrz lub na zewnątrz okręgu.

ZINFO-FIGURE

Zauważmy, że niezależnie od konfiguracji trójkąty AP C i DP B są podobne. Faktycznie, w obu sytuacjach jest jasne, że

∡AP C = ∡DP C .

Ponadto, jeżeli punkt P leży wewnątrz okręgu, to kąty PAC i PDB są równe jako kąty oparte na tym samym łuku. Jeżeli natomiast punkt P leży na zewnątrz okręgu, to czworokąt ABDC jest wpisany w okrąg i

∡P DB = 180∘ − ∡CDB = ∡PAC .

W takim razie w obu konfiguracjach trójkąty PAC i PDB mają dwa równe kąty, więc są podobne. Stąd

PA-= P-D- PC P B PA ⋅PB = P C ⋅PD .

Jak łatwo uzasadnić, jeżeli punkt P leży na zewnątrz okręgu, to iloczyn PA ⋅PC jest równy kwadratowi długości odcinka stycznej PE do okręgu poprowadzonej z punktu P . Można użyć tej obserwacji jako alternatywnego dowodu równości

PA ⋅ PB = PE 2 = PC ⋅ PD

w przypadku, gdy punkt P znajduje się na zewnątrz okręgu.

Wersja PDF