/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2023/Matura próbna/Zadania.info
Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 18 marca 2023 Czas pracy: 180 minut
Oblicz granicę
Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie trzy cyfry nieparzyste.
Informacja do zadań 3.1 i 3.2
Dany jest ośmiokąt foremny o boku długości 1.
![PIC](https://img.zadania.info/zes/0066873/HzesT2x.gif)
Udowodnij, że pole trójkąta jest równe
.
Niech będzie środkiem odcinka
. Oblicz długość odcinka
.
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny , określony dla każdej liczby naturalnej
. Czwarty wyraz tego ciągu jest o
większy od drugiego wyrazu i jest mniejszy niż trzeci wyraz. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa
. Wyznacz wszystkie wartości
, dla których spełniona jest nierówność
![| | ||---1---||> 7, |S − Sn |](https://img.zadania.info/zes/0066873/HzesT13x.gif)
gdzie oznacza sumę
początkowych wyrazów ciągu
, a
jest sumą wszystkich wszystkich wyrazów ciągu
.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej mniejszej od
i dla każdej liczby rzeczywistej
prawdziwa jest nierówność
.
Prosta o równaniu
przecina parabolę o równaniu
w punktach
oraz
. Pierwsza współrzędna punktu
jest liczbą ujemną; pierwsza współrzędna punktu
jest liczbą dodatnią. Prosta
jest równoległa do prostej
i styczna do danej paraboli w punkcie
. Oblicz odległość punktu
od prostej
oraz pole trójkąta
.
Rozwiąż równanie
![2 cos x+ cos(3x) = 0](https://img.zadania.info/zes/0066873/HzesT36x.gif)
w zbiorze .
W trójkącie poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki
i
tego trójkąta w punktach – odpowiednio –
i
. Punkt
jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Długości boków trójkąta
spełniają warunki:
oraz
![2 2 |BC | + 3|AC | = 3|AC | + 1.](https://img.zadania.info/zes/0066873/HzesT46x.gif)
Udowodnij, że punkt leży na okręgu opisanym na trójkącie
.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
![mx 2 − (m + 1 )x + 1 = 0](https://img.zadania.info/zes/0066873/HzesT50x.gif)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste oraz
, spełniające warunek:
![1-+ -1-+ 2 ≥ 1--+ -1- x1 x2 x21 x22](https://img.zadania.info/zes/0066873/HzesT53x.gif)
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, w którym tangens jednego z kątów ostrych jest równy . Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają długość
. Jakie powinno być pole podstawy ostrosłupa, aby jego objętość była największa? Oblicz tę największą objętość.
Wśród kilkuset studentów, którzy przystąpili do egzaminu z matematyki dokładnie jedna trzecia nie znała odpowiedzi na pierwsze pytanie. Egzaminator 10 razy wybrał z tej grupy studentów osobę i sprawdził czy zna odpowiedź na pierwsze pytanie (jedna osoba mogła zostać wybrana kilkukrotnie). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród tych wybranych 10 osób więcej niż połowa zna odpowiedź na pierwsze pytanie.