/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2023/Matura próbna/Zadania.info
Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 25 marca 2023 Czas pracy: 180 minut
Oblicz
![log4-6⋅log-3664 lo g √421 6 . 6](https://img.zadania.info/zes/0078420/HzesT0x.gif)
Prostą o równaniu przesunięto o wektor postaci
w taki sposób, że przesunięta prosta jest styczna do wykresu funkcji
. Oblicz wartość
.
Oblicz granicę
![4n + 4n−1 ⋅3+ 4n−2 ⋅32 + ⋅⋅⋅+ 4⋅3n− 1 + 3n lim --------------------------------------------. n→ + ∞ 4n](https://img.zadania.info/zes/0078420/HzesT5x.gif)
Maszyna napełnia torebki herbatą. Każda torebka ma zostać napełniona 200 g herbaty. Torebkę, która zawiera mniej niż 200 g herbaty, nazywamy torebką z niedowagą. Prawdopodobieństwo tego, że pojedyncza torebka napełniona przez tę maszynę jest z niedowagą, jest równe 0,05. Oblicz, ile torebek herbaty należy poddać kontroli, aby prawdopodobieństwo otrzymania w kontrolowanej partii przynajmniej jednej torebki z niedowagą było większe niż 0,7.
Wykaż, że jeżeli liczby dodatnie spełniają warunki:
i
, to
![∘ 12pq-−-3p-4 x2 − y2 = --------------. 3](https://img.zadania.info/zes/0078420/HzesT9x.gif)
Rozwiąż równanie w przedziale
.
W romb o boku wpisano dwa okręgi w ten sposób, że okręgi te są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do dwóch sąsiednich boków rombu przecinających się pod kątem ostrym
(zobacz rysunek).
Udowodnij, że suma promieni tych okręgów jest równa .
Informacja do zadań 8.1 i 8.2
Na przedziale określono dwie funkcje:
i
. Rozpatrujemy wszystkie trapezy
, których wierzchołki
i
leżą na wykresie funkcji
, a wierzchołki
i
leżą na wykresie funkcji
. Podstawy rozpatrywanych trapezów są równoległe do osi
(zobacz rysunek).
![PIC](https://img.zadania.info/zes/0078420/HzesT27x.gif)
Wykaż, że jeżeli pierwsza współrzędna punktów i
jest równa 7, a druga współrzędna punktu
jest równa
, to pole trapezu
jest równe
![P(y ) = −y 3 − 4y2 + 16y + 64.](https://img.zadania.info/zes/0078420/HzesT33x.gif)
Oblicz współrzędne wierzchołków tego z rozpatrywanych trapezów, w którym , i który ma największe możliwe pole. Oblicz to największe pole. Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że jeżeli pierwsza współrzędna wierzchołka
trapezu
jest równa 7, a druga współrzędna wierzchołka
jest równa
, to pole trapezu wyraża się wzorem
![P(y ) = −y 3 − 4y2 + 16y + 64.](https://img.zadania.info/zes/0078420/HzesT39x.gif)
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o podstawie
. Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość
. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
takim, że
. Przez środek
krawędzi
i środek
krawędzi
poprowadzono płaszczyznę
prostopadłą do płaszczyzny
. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
Dane jest równanie
![2 (x − 2 )⋅[(m − 7)x + 2(m + 3 )x− (2m + 3)] = 0](https://img.zadania.info/zes/0078420/HzesT51x.gif)
z niewiadomą i parametrem
. Wyznacz wszystkie wartości parametru
, dla których to równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku.
Dane są 4 liczby, z których 3 pierwsze tworzą ciąg geometryczny, a 3 ostatnie tworzą ciąg arytmetyczny. Suma pierwszej i czwartej wynosi 22, a suma drugiej i trzeciej wynosi 4. Wyznacz te 4 liczby.
W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest romb , którego bok
i przekątna
są zawarte w prostych o równaniach
i
odpowiednio. Promień okręgu wpisanego w romb
jest równy
, a środek tego okręgu leży poniżej osi
. Oblicz współrzędne punktu styczności okręgu wpisanego w romb
z jego bokiem
.