Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki
Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 13 marca 2010 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(5 pkt)

Wykres funkcji  a y = x , gdzie a ⁄= 0 przesunięto o wektor [2,3] i otrzymano wykres funkcji, która ma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o równaniu x 2 − 4x + y 2 − 6y + 12 = 0 . Wyznacz a .

Zadanie 2
(5 pkt)

W trójkącie o obwodzie 14 jeden z boków jest dwa razy dłuższy od drugiego boku. Oblicz cosinus najmniejszego kąta, tego spośród trójkątów spełniających podany warunek, w którym suma kwadratów długości boków jest najmniejsza.

Zadanie 3
(5 pkt)

Rozwiąż nierówność ||x− x2|− 3x | > x .

Zadanie 4
(5 pkt)

Oblicz iloczyn pierwszych 99 wyrazów ciągu geometrycznego (an) , w którym a 1 = − -√1-47- ( 2) oraz  ∘ ----√--- ∘ ----√--- q = 3 − 5− 3 + 5 . Czy iloczyn ten jest liczbą wymierną?

Zadanie 5
(5 pkt)

Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór punktów, których współrzędne (x,y) są rozwiązaniem układu nierówności

( |{ y + 3x ≤ 4 4y − 3x ≤ 31 |( 2y + x ≥ 3.

Oblicz pole tego obszaru.

Zadanie 6
(5 pkt)

Dane jest równanie  2 2 8x − 4nx − 4x − 5n − 3 = 0 z niewiadomą x i parametrem n .

  • Wyznacz wszystkie wartości n , dla których suma odwrotności pierwiastków tego równania jest równa − 12 23 .
  • Wykaż, że jeżeli n jest liczbą całkowitą, to suma kwadratów pierwiastków tego równania też jest liczbą całkowitą.

Zadanie 7
(5 pkt)

W trójkącie ABC punkt S jest środkiem okręgu wpisanego, a punkty KLM są punktami styczności okręgu wpisanego w trójkąt z bokami BC ,CA i AB odpowiednio.

  • Uzasadnij, że na czworokącie AMSL można opisać okrąg.
  • Wiedząc, że |∡CAB | = 3 8∘ oraz |∡ABC | = 5 8∘ oblicz miary kątów trójkąta KLM .

Zadanie 8
(6 pkt)

Do woreczka wrzucono 3 monety 5 złotowe, 4 monety 2 złotowe, 2 monety 1 złotowe oraz 8 monet 50 groszowych. Karol losowo wyjmuje z woreczka 10 monet. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosuje w ten sposób co najmniej 10 zł? Wynik podaj z dokładnością do trzech miejsc po przecinku.

Zadanie 9
(4 pkt)

Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA ′B′C ′D ′ jest równoległobok ABCD o bokach długości |AB | = 5 i |BC | = 4 . Oblicz długość wysokości A ′A graniastosłupa jeżeli |∡A ′BC | = 105 ∘ oraz |∡A ′CB | = 45∘ .

Zadanie 10
(5 pkt)

Rozwiąż równanie  √ - 2-sin2x+(--3−-1)sin2x √ -- 1+cos2x = 3 .

ArkuszWersja PDF