/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2010/Matura próbna/Zadania.info
Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 1 maja 2010 Czas pracy: 180 minut
- Narysuj wykresy funkcji
oraz
, gdzie
.
- Wyznacz te wartości parametru
, dla których równanie
ma dokładnie dwa rozwiązania.
Wyznacz środek okręgu wpisanego w trójkąt, którego boki zwierają się w prostych o równaniach oraz
.
Dwa przeciwległe boki czworokąta wpisanego w okrąg mają równe długości. Wykaż, że czworokąt ten jest trapezem.
Korzystając ze wzoru
![nxn+ 1 − (n + 1)xn + 1 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + ⋅⋅⋅+ nxn −1 = ----------------------, (1− x)2](https://img.zadania.info/zes/0094438/HzesT7x.gif)
który jest prawdziwy dla dowolnej liczby naturalnej i dowolnej liczby
, wykaż, że
![( 2⋅7 4⋅73 6⋅75 8⋅77) 9 8 lo g 5---⋅5----⋅5----⋅5---- = 8-⋅7-+--9⋅7--−-1-. 5 5⋅53⋅72 ⋅55⋅74 ⋅57⋅76 64](https://img.zadania.info/zes/0094438/HzesT10x.gif)
Kwadrat o wierzchołkach przekształcono w jednokładności o skali ujemnej i otrzymano kwadrat o wierzchołkach
. Wyznacz środek i skalę tej jednokładności.
Długości boków trójkąta są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego o ilorazie , a cosinus jednego z jego kątów jest równy
.
- Wyznacz
.
- Wiedząc, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość
, oblicz pole tego trójkąta.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
![2 2 (x + 3mx + 1)(x + 2x + m) = 0](https://img.zadania.info/zes/0094438/HzesT18x.gif)
ma cztery różne pierwiastki, których suma sześcianów jest równa 4.
W ostrosłup prawidłowy czworokątny wpisujemy graniastosłupy prawidłowe czworokątne w ten sposób, że dolna podstawa graniastosłupa zawiera się podstawie ostrosłupa, a każdy z wierzchołków górnej podstawy należy do jednej z krawędzi bocznych ostrosłupa. Wiedząc, że każda z krawędzi ostrosłupa ma długość 6, oblicz jaka jest maksymalna możliwa powierzchnia boczna graniastosłupa.
Rozwiąż nierówność .
Umieszczamy króla szachowego w lewym dolnym rogu 64-polowej szachownicy, a następnie siedem razy przesuwamy go losowo w górę lub w prawo (za każdym razem na nowo losujemy kierunek przesunięcia).
Zakładając, że wylosowanie każdego kierunku jest jednakowo prawdopodobne, oblicz prawdopodobieństwo, że na końcu król nie znajdzie się w rogu szachownicy.