Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest... Zadania.info: losowe zadanie, Szkoła średnia, 3921741

Forum

Zadanie nr 3921741

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x,y$ prawdziwa jest nierówność

x4 + y4 + x2 + y2 ≥ 2xy (x + y).

Rozwiązanie

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

4 4 2 2 x + y + x + y ≥ 2xy (x+ y) x4 + y4 + x2 + y2 − 2x2y − 2xy 2 ≥ 0 4 2 2 4 2 2 (x − 2x y + y ) + (y − 2y x + x ) ≥ 0 (x2 − y)2 + (y2 − x)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.