Zadanie nr 1374422

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie x 2 − (m − 4)x + m 2 − 4m = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest mniejsza od 2m 3 − 3 .

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

2 2 2 2 0 < Δ = (m − 4) − 4(m − 4m ) = m − 8m + 1 6− 4m + 16m 0 < − 3m 2 + 8m + 16 2 3m − 8m − 16 < 0 Δ = 6 4+ 1 92 = 256 = 162 m = 8−--16-= − 4, m = 8-+-16-= 4 1 6 3 2 6 ( 4 ) m ∈ − --,4 . 3

Na mocy wzorów Viète’a wiemy, że suma pierwiastków równania jest równa

x + x = m − 4, 1 2

co daje nierówność

m − 4 < 2m 3 − 3 0 < 2m 3 − m + 1.

Widać, że prawa strona zeruje się dla m = − 1 (sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego), dzielimy więc prawą stronę przez (m + 1) – my zrobimy to grupując wyrazy.