/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
poziom rozszerzony 3 czerwca 2016 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Funkcja f określona jest wzorem 3−x f(x ) = |3+ 5 |− 1 dla każdej liczby rzeczywistej. Zbiorem wartości funkcji f jest
A) (2,+ ∞ ) B) ⟨1,3⟩ C) ⟨− 1,+ ∞ ) D) (0,+ ∞ )

Zadanie 2
(1 pkt)

Wartość wyrażenia sin 275∘ − cos2 75∘ jest równa
A) 1 − 2 B) 1 2 C) √ - − -23 D) √- 23-

Zadanie 3
(1 pkt)

W trapezie ABCD o podstawach AB i CD dane są: |AD | = 6, |BC | = 12, |AC | = 10 oraz |∡ABC | = |∡CAD | (zobacz rysunek).

PIC

Wówczas długość podstawy AB tego trapezu jest równa
A) |AB | = 18 B) |AB | = 2 0 C) |AB | = 22 D) |AB | = 24

Zadanie 4
(1 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie krawędzie mają jednakową długość. Wynika stąd, że cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy
A) √ - --3 3 B) √ - --3 2 C) 1 2 D) 1 3

Zadanie 5
(1 pkt)

Granica lim --−-7n3+-3n--- n→+ ∞ 1+2n+ 3n2+ 4n5 jest równa
A) − ∞ B) − 7 4 C) 0 D) + ∞

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) określony dla n ≥ 1 , w którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 12. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Zadanie 7
(2 pkt)

Dane są zdarzenia losowe A ,B ⊆ Ω takie, że P (A) = 27 i P(A ∪ B) = 35 . Oblicz P(B ∖ A ) , gdzie zdarzenie B ∖ A oznacza różnicę zdarzeń B i A .

Zadanie 8
(4 pkt)

Wykaż, że dla a,b,c,d > 0 prawdziwa jest nierówność √ ------ √ ----- √ --- √ --- a + b ⋅ c+ d ≥ ac + bd .

Zadanie 9
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność |x2 − 3x + 2| ≥ |x − 1| .

Zadanie 10
(3 pkt)

Dany jest ciąg (an ) określony dla każdej liczby całkowitej n ≥ 1 , w którym a4 = 4 oraz dla każdej liczby n ≥ 1 prawdziwa jest równość a = an + n− 4 n+1 . Oblicz pierwszy wyraz ciągu (an ) i ustal, czy ciąg ten jest malejący.

Zadanie 11
(3 pkt)

Dany jest sześcian ABCDEF GH . Przez wierzchołki A i C oraz środek K krawędzi BF poprowadzono płaszczyznę, która przecina przekątną BH w punkcie P (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że |BP | : |HP | = 1 : 3 .

Zadanie 12
(4 pkt)

Liczba m jest sumą odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania

2 2 k x + (k − 1)x + 1 = 0, gdzie k ⁄= 0.

Wyznacz zbiór wartości funkcji określonej wzorem f(k) = 2m .

Zadanie 13
(3 pkt)

Rozwiąż nierówność (2sin x− 3)(2sin x+ 1) > 0 w przedziale x ∈ (0,2π ) .

Zadanie 14
(4 pkt)

W trójkącie prostokątnym stosunek różnicy długości przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy 1 2 . Oblicz cosinusy kątów ostrych tego trójkąta.

Zadanie 15
(4 pkt)

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie trzy cyfry nieparzyste.

Zadanie 16
(5 pkt)

Punkty A = (− 7,− 2) i B = (4,− 7) są wierzchołkami podstawy trójkąta równoramiennego ABC , a wysokość opuszczona z wierzchołka A tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 2x + 19y + 52 = 0 . Oblicz współrzędne wierzchołka C .

Zadanie 17
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej jest równe 2 π . Oblicz promień podstawy tego walca, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania