/Szkoła średnia
Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
poziom rozszerzony 4 czerwca 2024 Czas pracy: 180 minut
W chwili początkowej () zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział związek . W wyniku tej reakcji masa związku zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością
gdzie:
-
– masa związku wyrażona w gramach,
-
– czas wyrażony w sekundach (liczony od chwili ),
-
– współczynniki liczbowe.
Masa początkowa związku (tj. masa w chwili ) była równa gramów. Po osiągnięciu stanu równowagi (tj. gdy ) masa tego związku była równa jego masy początkowej (zobacz rysunek).
Oblicz, po ilu sekundach (licząc od chwili zainicjowania tej reakcji) przereagowało 87,5% masy początkowej tego związku.
Oblicz granicę
Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . W kartezjańskim układzie współrzędnych punkt należy do wykresu funkcji . Oblicz oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie .
Doświadczenie losowe polega na dziesięciokrotnym rzucie symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tym doświadczeniu losowym orzeł wypadł dokładnie trzy razy z rzędu, jeśli wiadomo, że wypadł dokładnie trzy razy.
Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej i każdej liczby dodatniej takich, że , prawdziwa jest nierówność
Długości podstaw trapezu równoramiennego są równe oraz , przy czym . W ten trapez można wpisać okrąg. Wykaż, że pole tego trapezu jest większe od .
Nieskończony ciąg geometryczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Suma wszystkich wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa 16, tj.
Ponadto . Wyznacz wzór ogólny na n–ty wyraz ciągu .
W okrąg o promieniu 4 wpisano trójkąt . Długość boku jest równa 6. Bok ma długość i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta. Oblicz długość boku trójkąta .
Rozwiąż równanie .
Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa . Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka . Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
W kartezjańskim układzie współrzędnych prosta o równaniu przecina parabolę o równaniu w punktach oraz , które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku . Wierzchołek ma pierwszą współrzędną ujemną. Wierzchołek leży na prostej o równaniu i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu od prostej zawierającej bok równoległoboku jest równa . Oblicz długość boku tego równoległoboku.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste spełniające warunek
Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości ostrosłupa oraz promienia okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa 6.
-
Wykaż, że objętość każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem
-
Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na podstawie tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.