/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki (CKE)
poziom podstawowy 7 grudnia 2023 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba ( −2,4 2)12 3 ⋅3 5 jest równa
A) √ -- 3 B) √- 33- C) 13 D) 0,3

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba log2 96 − log23 jest równa
A) log 93 2 B) lo g 30 2 C) 4 D) 5

Zadanie 3
(1 pkt)

Pan Grzegorz wpłacił do banku pewną kwotę na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości 5% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania pan Grzegorz odebrał z tego banku wraz z odsetkami kwotę 4851 zł (bez uwzględnienia podatków). Kwota wpłacona przez pana Grzegorza na tę lokatę była równa
A) 4300 zł B) 4400 zł C) 4500 zł D) 4600 zł

Zadanie 4
(1 pkt)

Na osi liczbowej zaznaczono przedział.

ZINFO-FIGURE

Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
A) |x − 2| < 5 B) |x − 2| > 5 C) |x− 5| < 2 D) |x − 5| > 2

Zadanie 5
(2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej n liczba 2 3n + 4n + 1 jest podzielna przez 4.

Zadanie 6
(1 pkt)

Dany jest układ równań

{ x − 3y + 5 = 0 2x + y + 3 = 0.

Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb
A) x = 1 i y = 2 B) x = 0 i y = − 3 C) x = − 2 i y = 1 D) x = − 1 i y = − 1

Zadanie 7
(1 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od (− 3) i (− 2) wartość wyrażenia

2 ---x+--3----⋅ x-+-2x- x2 + 4x+ 4 2x+ 6

jest równa wartości wyrażenia
A) x 2 B) x 4 C) -x--- 2x+ 4 D) x3+3x2 6x2+24x+24

Zadanie 8
(1 pkt)

Dany jest wielomian 3 2 W (x) = − 3x − x + kx + 1 , gdzie k jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że wielomian W można zapisać w postaci W (x) = (x + 1) ⋅Q (x) dla pewnego wielomianu Q . Liczba k jest równa
A) 29 B) (− 3) C) 0 D) 3

Zadanie 9
(3 pkt)

Rozwiąż równanie

3 2 2x + 3x = 10x + 15.

Zadanie 10
(1 pkt)

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = − 16x+ 23 . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Miejscem zerowym funkcji f jest liczba 4. PF
Punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią Oy ma współrzędne (0,− 16) .PF

Informacja do zadań 11.1 – 11.4

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y ) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f , oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

ZINFO-FIGURE
Zadanie 11.1
(1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział
A) (− ∞ ,− 2] B) (− ∞ ,4] C) [− 2,+ ∞ ) D) [4,+ ∞ )

Zadanie 11.2
(1 pkt)

Zapisz poniżej w postaci przedziału zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne.

Zadanie 11.3
(2 pkt)

Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.
Wzór funkcji f można przedstawić w postaci:
A) f (x) = 1(x − 2 )(x − 6) 2 B) 1 2 f (x) = 2(x − 4) − 2
C) f(x ) = 2(x − 2)(x − 6) D) f (x) = 12(x + 4)2 − 2

E) f(x) = 2(x+ 2)(x + 6) F) f (x) = 2(x + 4)2 − 2

Zadanie 11.4
(1 pkt)

Funkcja kwadratowa g jest określona za pomocą funkcji f następująco: g(x) = f (x+ 1) . Fragment wykresu funkcji y = g (x) przedstawiono na rysunku

ZINFO-FIGURE

Zadanie 12
(1 pkt)

Proces stygnięcia naparu z ziół w otoczeniu o stałej temperaturze ∘ 22 C opisuje funkcja wykładnicza T (x) = 78 ⋅2− 0,05x + 2 2 , gdzie T (x) to temperatura naparu wyrażona w stopniach Celsjusza po x minutach liczonych od momentu x = 0 , w którym zioła zalano wrzątkiem. Temperatura naparu po 20 minutach od momentu zalania ziół wrzątkiem jest równa
A) ∘ 22 C B) ∘ 39 C C) 78 ∘C D) 61∘C

Zadanie 13
(1 pkt)

Ciąg arytmetyczny (an ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . W tym ciągu a2 = 4 oraz a3 = 9 . Szósty wyraz ciągu (an) jest równy
A) 24 B) 29 C) 36 D) 69

Zadanie 14
(1 pkt)

Ciąg (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Suma n początkowych wyrazów tego ciągu jest określona wzorem n Sn = 4 ⋅(2 − 1) dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Pierwszy wyraz ciągu (an) jest równy 4.PF
Drugi wyraz ciągu (an ) jest równy 12. PF

Zadanie 15
(1 pkt)

Trzywyrazowy ciąg (1 − 2a,1 2,48) jest geometryczny. Liczba a jest równa
A) (− 1) B) 3 C) 4 D) 12,5

Informacja do zadań 16.1 i 16.2

Na rysunkach A–F w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) zaznaczono różne kąty. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią Ox , a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych: A lub B , lub C , lub D , lub E , lub F .

ZINFO-FIGURE
Zadanie 16.1
(1 pkt)

Kąt α ∈ (0 ∘,180∘) , spełniający warunek tgα = − 23 , jest zaznaczony na rysunku …

Zadanie 16.2
(1 pkt)

Kąt β ∈ (0∘,180∘) , spełniający warunek cos β = √1-- 10 , jest zaznaczony na rysunku …

Zadanie 17
(1 pkt)

Kąt α jest ostry oraz √5- sin α = 3 . Tangens kąta α jest równy
A) √ - --5 2 B) 2 3 C) √- 2-5- 5 D) 3√-5 5

Zadanie 18
(1 pkt)

Dana jest prosta l o równaniu y = 32x − 152- . Prosta k jest prostopadła do prostej l i przechodzi przez punkt P = (6,0) . Prosta k ma równanie
A) y = 3x + 6 2 B) y = − 2x+ 6 3 C) 3 y = 2x− 9 D) 2 y = − 3x + 4

Zadanie 19
(1 pkt)

Dane są proste k i l o równaniach

k : y = − 1x − 7 2 l : y = (2m − 1)x+ 13.

Proste k oraz l są równoległe, gdy
A) ( 1) m = − 2 B) 1 m = 4 C) m = 3 2 D) m = 2

Zadanie 20
(1 pkt)

Okrąg O o środku S = (4,− 2) jest styczny do osi Ox układu współrzędnych. Okrąg O jest określony równaniem
A) (x − 4)2 + (y + 2)2 = 4 B) (x − 4)2 + (y + 2)2 = 2
C) (x + 4)2 + (y − 2)2 = 4 D) 2 2 (x + 4) + (y − 2) = 2

Zadanie 21
(1 pkt)

Punkty K = (− 7 ,− 2 ) oraz L = (− 1,4) są wierzchołkami trójkąta równobocznego KLM . Pole trójkąta KLM jest równe
A) √ -- 17 2 B) √ -- 17 3 C) √ -- 18 2 D) √ -- 18 3

Zadanie 22
(1 pkt)

Punkty A , B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O . Prosta k jest styczna do tego okręgu w punkcie A i tworzy z cięciwą AB kąt o mierze 32∘ . Ponadto odcinek AC jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Miara kąta rozwartego BOC jest równa
A) 148 ∘ B) 116∘ C) 15 4∘ D) 122 ∘

Zadanie 23
(1 pkt)

W rombie ABCD dłuższa przekątna AC ma długość 12 i tworzy z bokiem AB kąt o mierze 30 ∘ (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Pole rombu ABCD jest równe
A) 24 B) 36 C) √ -- 24 3 D) 36√ 2-

Zadanie 24
(2 pkt)

Dany jest okrąg O o środku w punkcie S . Średnica AB tego okręgu przecina cięciwę CD w punkcie P (zobacz rysunek). Ponadto: |PB | = 4 , |PC | = 8 oraz |P D | = 5 .

ZINFO-FIGURE

Oblicz promień okręgu O .

Zadanie 25
(1 pkt)

Dany jest sześcian ABCDEF GH o krawędzi długości 5. Wewnątrz sześcianu znajduje się punkt P (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Suma odległości punktu P od wszystkich ścian sześcianu ABCDEF GH jest równa
A) 15 B) 20 C) 25 D) 30

Zadanie 26
(3 pkt)

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 384. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze α taki, że 4 tg α = 3 .

ZINFO-FIGURE

Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa.

Zadanie 27
(2 pkt)

E–dowód ma zapisany na pierwszej stronie specjalny sześciocyfrowy numer CAN, który zabezpiecza go przed odczytaniem danych przez osoby nieuprawnione. Oblicz, ile jest wszystkich sześciocyfrowych numerów CAN o różnych cyfrach, spełniających warunek: trzy pierwsze cyfry są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy (− 3) .

Zadanie 28
(1 pkt)

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą, jest równe
A) 1 2 B) 1 5 C) 1 4 D) 3 4

Informacja do zadań 29.1 i 29.2

W hurtowni owoców wyselekcjonowane jabłko spełnia normę jakości, gdy jego masa (po zaokrągleniu do pełnych dekagramów) mieści się w przedziale [19 dag, 21 dag]. Pobrano próbę kontrolną liczącą 50 jabłek i następnie zważono każde z nich. Na poniższym wykresie słupkowym przedstawiono rozkład masy jabłek w badanej próbie. Na osi poziomej podano – wyrażoną w dekagramach – masę jabłka (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów), a na osi pionowej przedstawiono liczbę jabłek o określonej masie.

ZINFO-FIGURE
Zadanie 29.1
(1 pkt)

Spośród 50 zważonych jabłek z pobranej próby kontrolnej losujemy jedno jabłko. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane jabłko spełnia normę jakości, jest równe
A) 3 7 B) 5 7 C) 18 25 D) 190

Zadanie 29.2
(1 pkt)

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3.
Dominanta masy 50 zważonych jabłek (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów) z pobranej próby kontrolnej jest równa

A) 20 dag,B) 23 dag,

ponieważ

1)ta masa jest największa w tej próbie.
2) iloczyn tej masy i liczby jabłek o takiej masie jest największy w tej próbie.
3) ta masa występuje najliczniej w tej próbie.

Zadanie 30
(4 pkt)

Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość 12 dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa 18 dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole.

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania