/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 27 lutego 2016 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Suma szóstych potęg pierwiastków całkowitych równania x2 + ax + 2 = 0 może być równa
A) 65 B) 33 C) 2 D) 9

Zadanie 2
(1 pkt)

Ciąg (an) określony jest w następujący sposób { a1 = 2∘ --------------------- an = (4− an−1)(4 + an− 1) dla n ≥ 2. Setny wyraz ciągu a n jest równy
A) √ -- 2 3 B) 2 C) 100 D) √ -- 4 3

Zadanie 3
(1 pkt)

Która z poniższych funkcji nie ma minimum lokalnego ani maksimum lokalnego?
A) f(x ) = |log x| 0,5 B) f(x) = π −x C) f(x ) = |sin x| D) 5 2 f(x) = x + x

Zadanie 4
(1 pkt)

Równanie 4 sin x + 7 cosx = 4
A) nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B) ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C) ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D) ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Zadanie 5
(1 pkt)

Liczba 20 (10) jest podzielna przez
A) 5 B) 33 C) 221 D) 51

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Liczby − 7,− 1,5,11 są miejscami zerowymi wielomianu czwartego stopnia W (x) . Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x spełniona jest równość W (2− x) = W (2 + x ) .

Zadanie 7
(2 pkt)

Oblicz granicę ( ) lim √n3n2+1-− √39n4--- n→+ ∞ n +1 .

Zadanie 8
(3 pkt)

Oblicz pole trójkąta utworzonego przez prostą x − y+ 6 = 0 , oś Ox oraz styczną do wykresu funkcji f(x) = (x + 3)(x+ 1)(x− 2) w punkcie o pierwszej współrzędnej x = − 2 .

Zadanie 9
(3 pkt)

Niech √ -- a = lo g√6 5 4 . Wykaż, że √- 3√ -- --10a- lo g 3 2 = 12−15a .

Zadanie 10
(3 pkt)

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej m prawdziwa jest nierówność 2 2 18x − 36mx + 22m ≥ 24x − 12m − 17 .

Zadanie 11
(3 pkt)

O zdarzeniach losowych A , B wiadomo, że: P(A ∪ B) = 0 ,6, P (A ) = 0,3 i P(A |B) = 0,25 . Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe P(B |A) .

Zadanie 12
(3 pkt)

Punkty P1,P2,P3,...,P23,P24 dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt A jest punktem przecięcia cięciw P5P21 i P1P 15 .

PIC

Udowodnij, że |∡P 15AP 21| = 75∘ .

Zadanie 13
(4 pkt)

Dany jest trójkąt ABC oraz punkt D na jego boku AB taki, że 2 |AD | = 3|AB | . Z wierzchołka B poprowadzono środkową BE do boku AC . Punkt P jest punktem wspólnym odcinków CD i BE . Wykaż, że punkt P jest środkiem odcinka BE .

Zadanie 14
(5 pkt)

W trójkącie ABC dane są: |BC | = 7 , |AB |+ |AC | = 13 , |AB |⋅|AC |⋅ cos∡BAC = 20 . Oblicz pole tego trójkąta.

Zadanie 15
(5 pkt)

Rzucamy trzy razy monetą, a następnie rzucamy tyle razy kostką, ile orłów otrzymaliśmy w rzutach monetami. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że suma oczek otrzymanych w rzutach kostką jest dwa razy większa od liczby orłów otrzymanych w rzutach monetą jeżeli wiadomo, że w rzutach monetą otrzymaliśmy przynajmniej jednego orła.

Zadanie 16
(6 pkt)

Współczynniki wielomianu W (x) = x3 + ax2 + bx + c spełniają warunek: a − b + c = 1 . Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3. Oblicz współczynniki a, b i c . Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Zadanie 17
(6 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej jest równe 12π . Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych walców, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania