/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 17 kwietnia 2021 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba log0,55 ⋅log0,2 2 jest równa
A) − 1 B) 1 C) 10 D) 0,1

Zadanie 2
(1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem an = 5n2−-3n−7- 9+4n−3n2 dla każdej liczby n ≥ 1 . Granica tego ciągu jest równa
A) 5 B) 5 − 3 C) 7 − 9 D) − 13

Zadanie 3
(1 pkt)

Prosta dana równaniem y = 15x + 35 jest prostopadła do stycznej do wykresu funkcji f (x) = x4 − 2x3 − x2 + 3x − 4 w punkcie
A) (2,− 2) B) (1,− 3) C) (0,− 4) D) (− 1,− 5)

Zadanie 4
(1 pkt)

Wskaż wektor równoległy do wektora → v = [− 72,96 ]
A) [48,36] B) [45,− 60 ] C) [− 42,64] D) [76,− 57 ]

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

Dwa zakłady pracy produkują takie same akumulatory, przy czym stosunek liczby akumulatorów produkowanych dziennie przez pierwszy zakład do liczby akumulatorów produkowanych dziennie przez drugi zakład jest równy 2 3 . Badania wykazały, że niektóre z wyprodukowanych akumulatorów mają podwyższoną pojemność, przy czym własność tą ma 40% akumulatorów pochodzących z pierwszego zakładu i 30% akumulatorów pochodzących z drugiego zakładu. Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany akumulator pochodzący z dziennej produkcji obu zakładów nie ma podwyższonej pojemności.

Zadanie 6
(3 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

|49− |1 3− 4x ||− 4 = m (m − 4)

ma cztery różne rozwiązania, których iloczyn jest ujemny.

Zadanie 7
(3 pkt)

Suma długości wszystkich wysokości trójkąta ABC jest 9 razy większa od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Udowodnij, że trójkąt ABC jest równoboczny.

Zadanie 8
(3 pkt)

Wykaż, że cos40 ∘cos 80∘co s160∘ = − 18 .

Zadanie 9
(5 pkt)

Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest opisany równaniem

x2 + y2 − 10x + 6y + 29 = 0.

Punkty styczności tego okręgu z bokami AC i BC trójkąta ABC leżą na prostej o równaniu: x − y − 7 = 0 . Wyznacz współrzędne wierzchołka C trójkąta ABC .

Zadanie 10
(4 pkt)

Wykres funkcji 3 2 f (x) = x − 6x + 3x − 7 przesunięto o wektor → v i wyniku tej operacji otrzymano wykres, który jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Wyznacz współrzędne wektora →v .

Zadanie 11
(4 pkt)

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym (a1,a2,a3) spełniona jest równość a1 + a2 + a 3 = 133 . Wyrazy a1, a2, a 3 są – odpowiednio – dziewiątym, trzecim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz a 1 .

Zadanie 12
(5 pkt)

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu R = 7√ 2- . Kąt ADC tego czworokąta jest ostry i jego miara jest o ∘ 15 większa od miary kąta BAD . Iloczyn sinusów wszystkich kątów wewnętrznych czworokąta ABCD jest równy 38 . Oblicz długości przekątnych AC i BD tego czworokąta.

Zadanie 13
(5 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu W (x) = 2x5 + ax4 − 18x3 + bx przez trójmian x2 − x− 6 jest równa 48 − 11x . Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez trójmian 2 x + x − 6 .

Zadanie 14
(5 pkt)

Przez punkt P krawędzi bocznej AD graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ABCDEF o krawędzi podstawy równej a poprowadzono dwie płaszczyzny. Jedna przechodzi przez przeciwległą krawędź dolnej podstawy i jest nachylona do tej podstawy pod kątem α , a druga przechodzi przez przeciwległą krawędź górnej podstawy i jest nachylona do tej podstawy pod kątem β (zobacz rysunek).

PIC

Udowodnij, że objętość ostrosłupa BCF EP jest równa

3 a-sin(α-+-β)- 4 cosα cosβ

Zadanie 15
(7 pkt)

Mówimy, że walec jest wpisany w graniastosłup, jeżeli podstawy walca są zawarte w podstawach graniastosłupa, a powierzchnia boczna walca jest styczna do każdej ze ścian bocznych graniastosłupa (zobacz rysunek).

PIC

Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe sześciokątne takie, że suma długości promienia i wysokości walca wpisanego w ten graniastosłup jest równa K . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania