/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 14 kwietnia 2018 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Równanie ||x − 1|− 3| = 4 ma dokładnie
A) dwa rozwiązania rzeczywiste.
B) jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C) cztery rozwiązania rzeczywiste.
D) trzy rozwiązania rzeczywiste.

Zadanie 2
(1 pkt)

Granica -----9----- lxi→m− 2 3x−2− 2x73+x7+2
A) jest równa − ∞ B) jest równa + ∞ C) nie istnieje D) jest równa 0

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczba 17! jest podzielna przez
A) 71 B) 61 C) 51 D) 41

Zadanie 4
(1 pkt)

Dane są punkty A = (− 3,4) i B = (− 13,9) . Punkt C należący do odcinka AB i taki, że 1 AC = 4CB ma współrzędne
A) C = (− 10,5) B) C = (− 2,1) C) C = (− 7,6) D) C = (− 5,5)

Zadanie 5
(1 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x) = 3xx+-6- dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= − 2 . Wówczas pochodna tej funkcji dla argumentu -- x = √ 2− 2 jest równa
A) √ 2+3 --√2- B) 1 3 C) − 1 D) 2 3

Zadania otwarte

Zadanie 6
(3 pkt)

Pole trójkąta ABC jest równe S , a długości jego boków AC i BC są odpowiednio równe b i a . Na bokach AC i BC zbudowano kwadraty o środkach odpowiednio D i E .

PIC

Wykaż, że

2 2 DE 2 = a--+-b- + 2S . 2

Zadanie 7
(3 pkt)

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x ∈ ⟨0,2π⟩ , dla których

x ( x )2 ( x )3 cos --+ cos-- + cos-- + ⋅⋅⋅ = 1. 3 3 3

Zadanie 8
(3 pkt)

Udowodnij, że jeżeli a,b ≥ 0 , to prawdziwa jest nierówność 3 3 ( ) 3 a+2b--≥ a+2b- .

Zadanie 9
(3 pkt)

Na bokach AB , BC i CA trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty D ,E i F . Wykaż, że okręgi opisane na trójkątach ADF , BED i CF E przecinają się w jednym punkcie.

Zadanie 10
(4 pkt)

Ciąg (an) jest określony rekurencyjnie w następujący sposób

{ a 1 = 3 an +1 = an + 2n + 3 dla n ≥ 1

Oblicz ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych niż 2018.

Zadanie 11
(4 pkt)

Wykaż, że

1− cos2 3π-- ----------5---= tg2 π-. (cos 35π− 1)2 5

Zadanie 12
(4 pkt)

Spośród liczb naturalnych sześciocyfrowych wybieramy jedną liczbę. Jakie jest prawdopodobieństwo wybrania liczby, której iloczyn cyfr jest podzielny przez 9, jeżeli wiadomo, że każda cyfra wylosowanej liczby jest większa od 1?

Zadanie 13
(4 pkt)

Wykaż, że punkt o współrzędnych ( √ - √ -- √-) − -22,--46−24-2 jest wierzchołkiem kwadratu opisanego na okręgu o równaniu

2 2 √ -- √ -- x + y − 2x 2 + 4y 2 + 2 = 0.

Zadanie 14
(4 pkt)

Na środkowej AD podstawy ABC ostrosłupa trójkątnego ABCS wybrano punkty E i F w ten sposób, że |AE | = |EF | = |F D | . Przez punkty E i F poprowadzono płaszczyzny równoległe do ściany SBC . Oblicz stosunek pól otrzymanych w ten sposób przekrojów ostrosłupa.

Zadanie 15
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

x 3 + (m − 1)x − m = 0

ma dokładnie dwa pierwiastki rzeczywiste. Dla otrzymanych wartości m wyznacz te pierwiastki.

Zadanie 16
(7 pkt)

Rozpatrujemy prostokąty ABCD , których dwa wierzchołki leżą na osi Oy , jeden wierzchołek leży na paraboli określonej równaniem y = 9x2 + 1 4 , jeden wierzchołek leży na wykresie funkcji √ -- f(x ) = x określonej dla x ≥ 0 . Oblicz pole tego z tych prostokątów, który ma najmniejszy możliwy obwód.

PIC

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania