/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 9 marca 2024 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(2 pkt)

Dane są liczby

(√3----)log0,625343 log 0,364 ⋅log4 0,3 a = 1 ,6 oraz b = -------√------------ log 0,98 2 ⋅log2 0,9

Oblicz a+ b .

Zadanie 2
(2 pkt)

Oblicz granicę jednostronną

2 lim -x-−--3x. x→ 3−|9 − x2|

Zadanie 3
(3 pkt)

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym dokładnie trzy razy występuje cyfra 1.

Zadanie 4
(3 pkt)

Kasia i Ula grają w warcaby i każda rozgrywka kończy się wygraną jednej z dziewczynek. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Ulę jest równe 1 3 . Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Kasię co najmniej sześciu z siedmiu rozegranych partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Zadanie 5
(3 pkt)

Rozwiąż równanie cos π5 + cos x2 = 2co s x3 cos x6 .

Zadanie 6
(3 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej a prawdziwa jest nierówność

a + 32- ≥ 6. a 2

Zadanie 7
(4 pkt)

W okrąg o promieniu 17√-2- 2 wpisano czworokąt ABCD tak, że ∘ |∡ABC | = 90 oraz |AD | : |CD | = 7 : 2 3 . Oblicz obwód czworokąta ABCD jeżeli jego pole jest równe 192.

Zadanie 8
(4 pkt)

Określamy kwadraty K 1, K 2, K 3, ... następująco:

  • K1 jest kwadratem o boku długości a

  • K2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K 1 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 2

  • K3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K 2 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 2

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n ≥ 2 ,

  • Kn jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K n−1 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 2.

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

ZINFO-FIGURE

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.

Zadanie 9
(5 pkt)

Wyznacz pierwsze trzy wyrazy ciągu geometrycznego wiedząc, że ich suma jest równa 10,5 oraz suma ich kwadratów jest równa 47,25.

Zadanie 10
(5 pkt)

W okrąg o równaniu (x + 2)2 + (y − 4)2 = 2 5 wpisano trójkąt ABC , którego pole jest równe 20. Bok AB tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu 4y+ 3x − 10 = 0 , a wysokość opuszczona z wierzchołka C przecina bok AB w punkcie D , którego obie współrzędne są dodatnie. Oblicz współrzędne punktu D .

Zadanie 11
(5 pkt)

Dany jest graniastosłup prosty ABCDEF GH o podstawie prostokątnej ABCD . Przekątne AH , AF i HF ścian bocznych tworzą trójkąt ostrokątny o polu 11,25 (zobacz rysunek). Stosunek długości odcinka HF do promienia okręgu opisanego na trójkącie AF H jest równy 30 : 17. Oblicz wysokość h tego graniastosłupa.

ZINFO-FIGURE

Zadanie 12
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ∈ R , dla których równanie

x 3 + 3x 2 − m2x + (m 2 − 4) = 0

ma trzy różne pierwiastki, z których jeden jest ujemny, a pozostałe dwa należą do przedziału [ ] 1 2 ,5 .

Zadanie 13
(6 pkt)

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne ABCDE , w których krawędź boczna ma długość d (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

  • Wyznacz zależność objętości V ostrosłupa od jego wysokości h i podaj dziedzinę funkcji V (h) .

  • Wyznacz wysokość tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania