/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 2 marca 2024 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1

(3 pkt)

W chwili początkowej masa substancji jest równa 20 g. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 20% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od 240 ⋅1 0−12 g .

Zadanie 2

(3 pkt)

Karol i Antek grają w rzutki. Karol traﬁa w środek tarczy z prawdopodobieństwem 1 3 , a Antek z prawdopodobieństwem 2 5 . Rzucamy symetryczną, sześcienną kostką do gry. Jeżeli wypadnie liczba podzielna przez 3, to Karol dwa razy rzuca do tarczy. W przeciwnym wypadku Antek dwa razy rzuca do tarczy. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzenia polegającego na tym, że w żadnym z tych dwóch wykonanych rzutów nie zostanie traﬁony środek tarczy.

Zadanie 3

(2 pkt)

Wykaż, że jeżeli pierwiastkiem wielomianu

W (x) = (kx − 3)(kx + 2)(kx− 12)(x + 8) + kx

jest liczba całkowita podzielna przez 5, to nie jest liczbą całkowitą.

Zadanie 4

(3 pkt)

Oblicz granicę ciągu

n lim ---------------------5----------------------. n→ + ∞ 5n + 5n−1 ⋅3+ 5n−2 ⋅32 + ⋅⋅⋅+ 5⋅3n− 1 + 3n

Zadanie 5

(4 pkt)

Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 3. Punkty i leżą na prostych – odpowiednio – i tak, że √ -- |BK | = 2 3 i |BL | = 2 (zobacz rysunek). Odcinek przecina przekątną tego kwadratu w punkcie .

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że √ -- |MD | = 6 .

Zadanie 6

(4 pkt)

Funkcja jest określona wzorem 3 2 f(x ) = 2x + ax + 9x dla każdego x ∈ R , i ustalonej liczby rzeczywistej . Prosta y = 17x − 16 jest styczna do wykresu funkcji . Oblicz .

Zadanie 7

(4 pkt)

Rozwiąż równanie cos2x + sin 3x = 0 w zbiorze [ ] − π2-, π2 .

Zadanie 8

(4 pkt)

Rozwiąż nierówność √3----------------------- √ -------------- 8 + 54x 2 − 36x − 27x3 < 12 − 9+ 4x2 + 12x .

Zadanie 9

(5 pkt)

Przekątne czworokąta wypukłego ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w punkcie tak, że |BE | = 6 , |CE | = 3 i |DE | = 2 . Ponadto |AD | = |CD | (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz długości boków czworokąta ABCD oraz promień opisanego na nim okręgu.

Zadanie 10

(4 pkt)

Oblicz długość odcinka łączącego środki przeciwległych krawędzi czworościanu foremnego o krawędzi długości .

Informacja do zadań 11.1 i 11.2

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f (x) = −x 2 + 8x − 7 dla dowolnej liczby rzeczywistej .

Zadanie 11.1

(3 pkt)

Parabola będąca wykresem funkcji y = f(x ) przecina prostą y = log0,5 384 w punktach i . Wykaż, że suma kwadratów pierwszych współrzędnych punktów i jest równa 64 + log2 9 .

Zadanie 11.2

(5 pkt)

Na paraboli y = f(x) znajdź taki punkt , który leży powyżej osi , i dla którego stosunek jego pierwszej współrzędnej do drugiej jest najmniejszy możliwy.

Zadanie 12

(6 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) prosta o równaniu x − y + 4 = 0 przecina parabolę o równaniu y = − 4x 2 − 15x − 11 w punktach oraz . Odcinek jest średnicą okręgu . Punkt leży na okręgu poniżej prostej , a kąt ABC jest ostry i ma miarę taką, że 1 tg α = 3 (zobacz rysunek).