/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki (CEN Bydgoszcz)
poziom rozszerzony 6 marca 2020 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Dane jest równanie ||x+ 2|+ 6 | = 1 0 . Iloczyn rozwiązań tego równania jest równy
A) − 168 B) − 12 C) 216 D) 3024

Zadanie 2
(1 pkt)

Jeśli log3 2 = p i lo g37 = q , to lo g2827 jest równy
A) --3-- q+ 2p B) -3- p2q C) 2p+q- 3 D) -3-- p+q

Zadanie 3
(1 pkt)

Suma kwadratów odwrotności pierwiastków równania − x2 − 2x + 4 = 0 jest równa
A) 1 − 4 B) 1 2 C) 1 4 D) 34

Zadanie 4
(1 pkt)

Dany jest trójkąt ABC , w którym C = (− 2;6) , − → CB = [4 ;− 2 ] oraz środek ciężkości S = (4;− 1) . Współrzędne wierzchołka A są równe
A) A = (20;− 17 ) B) A = (12;− 13) C) A = (− 12;− 17) D) A = (20 ;1 3)

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

Ze zbioru liczb: {1 ,2,3,4,...,2n} , gdzie n ∈ N i n > 2 losujemy kolejno trzy razy po jednej liczbie bez zwracania. Niech An oznacza zdarzenie: iloczyn wylosowanych liczb jest liczbą nieparzystą, a P(An ) prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia An . Oblicz: lim P(An ) n→+ ∞ .

Zadanie 6
(3 pkt)

Przy dzieleniu wielomianu w (x) przez dwumian (x − 1) otrzymujemy resztę (− 3) , przy dzieleniu przez dwumian (x − 2) resztę 6, a przy dzieleniu przez dwumian (x + 3) resztę 1. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu w(x ) przez wielomian 3 p(x) = x − 7x + 6 .

Zadanie 7
(3 pkt)

W prostokąt ABCD wpisany jest trójkąt równoboczny AKL (patrz rysunek). Wierzchołek K leży na boku BC (K ⁄= B i K ⁄= C ), wierzchołek L leży na boku DC (L ⁄= D i L ⁄= C ). Udowodnij, że pole powierzchni trójkąta KLC równe jest sumie pól trójkątów ABK i DLA .

PIC

Zadanie 8
(3 pkt)

Rozwiąż równanie 2 sin 5x + sin x+ 2sin x = 1 dla x ∈ ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 9
(4 pkt)

Dla jakiej wartości parametru m dwa różne pierwiastki x 1,x 2 równania

2 2 x − 4(m + 1)x + 2m − 2m = 0

spełniają warunek x1 < m < x 2 .

Zadanie 10
(5 pkt)

Przekątna AC czworokąta ABCD tworzy z bokiem BC kąt ∘ 60 , a z bokiem AB kąt β taki, że 3 sin β = 4 . Promień okręgu opisanego na trójkącie ABC ma długość 5, a bok AD długość |AD | = 7 . Wiedząc, że w czworokąt ABCD można wpisać okrąg oblicz długości pozostałych boków czworokąta oraz długość przekątnej AC .

Zadanie 11
(6 pkt)

O funkcji g wiadomo, że g (x )+ g2(x)+ g3(x) + ...= x , gdzie lewa strona równania jest sumą szeregu geometrycznego zbieżnego. Dla jakich wartości parametru m równanie 2 3 |g(x)| = 2m − m posiada dwa rozwiązania?

Zadanie 12
(5 pkt)

Styczne do okręgu o równaniu x2 + y2 + 4x− 2y − 5 = 0 , które są równoległe do prostej o równaniu 3x+ y− 1 = 0 , przecinają prostą k : y = x − 3 w punktach A i B . Oblicz pole trójkąta ABC , jeśli C = (4,− 7) .

Zadanie 13
(5 pkt)

Ostrosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzna przechodzącą przez krawędź podstawy i przecinającą przeciwległe krawędzie boczne w punktach jednakowo odległych od wierzchołka ostrosłupa. Przekrój ten jest trapezem o podstawach długości 12 i 8. Oblicz pole tego przekroju, jeżeli wysokość ostrosłupa ma długość 18.

Zadanie 14
(3 pkt)

Wiedząc, że ′ ′ 4 P (A ∪ B ) = 7 oraz P (A ∖ B) = 13 . Wykaż, że P(B |A) < 58 .

Zadanie 15
(7 pkt)

Na kole o promieniu 12 opisano trójkąt prostokątny. Oblicz długości boków tego trójkąta, którego pole jest najmniejsze.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania