/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 23 kwietnia 2022 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1

(1 pkt)

Liczba --1-- √32−1 jest równa
A) √ -- √ -- 34 − 32 + 1 B) √ -- 3 4+ 1 C) √ -- 32 + 1 D) √ -- √ -- 3 4+ 3 2+ 1

Zadanie 2

(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji określonej dla każdej liczby rzeczywistej .

Zadanie 3

(1 pkt)

Granice an2+bn+4- nli→m+ ∞ n+ 1 i ---n+1--- nl→im+ ∞ an2+4bn+1 są równe. Stąd wynika, że
A) a = 0 i |b| = 1 2 B) |a | = 1 i b = 0 C) |a| = 1 i |b| = 2 D) a = 0 i b = 2

Zadanie 4

(1 pkt)

W turnieju szachowym rozegrano 45 partii. Każdy zawodnik rozegrał z każdym dokładnie 1 mecz. Ilu zawodników brało udział w turnieju?
A) 10 B) 9 C) 8 D) 7

Zadania otwarte

Zadanie 5

(3 pkt)

Rozwiąż nierówność

x− 2 x + 1 ------≤ ------. x+ 1 x + 2

Zadanie 6

(3 pkt)

Wykaż, że jeżeli 12a = 18 , to log 4 = -2−a 9 2a−1 .

Zadanie 7

(3 pkt)

Dla jakich wartości parametru prosta y = − 7x + m jest styczna do wykresu funkcji y = 4−x-- x+3 ?

Zadanie 8

(3 pkt)

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x ∈ ⟨0,2π⟩ , które spełniają równanie

sin 2x + sin3x + sin 4x + ⋅⋅⋅ = sinx + 1 .

Zadanie 9

(4 pkt)

Łukasz w sposób losowy ustawia na jednej półce regału pewną liczbę książek. Wśród tych książek są trzy książki w języku angielskim, a wszystkie pozostałe są w języku polskim. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że trzy książki w języku angielskim znajdą się obok siebie jest równe 1- 22 . Oblicz, ile książek w języku polskim zostało ustawionych na tej półce.

Zadanie 10

(4 pkt)

Prosta przechodząca przez punkty A = (− 9,− 4) i B = (− 6,17) jest styczna do okręgu o środku w punkcie O = (− 1,2) . Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą .

Zadanie 11

(4 pkt)

Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest trójkąt, w którym wysokość ma długość √ -- 2 3 . Przekątne ścian bocznych wychodzące z jednego wierzchołka tworzą kąt taki, że cosα = 1113 . Oblicz objętość graniastosłupa.

Zadanie 12

(4 pkt)

W deltoidzie ABCD dane są |AB | = 4 , |BC | = 5 oraz |∡ABC | = |∡BCD | = |∡ADC | . Oblicz długość przekątnej tego deltoidu.

Zadanie 13

(5 pkt)

Czterowyrazowy ciąg (a,b,c,d) jest rosnący i arytmetyczny. Kwadrat największego wyrazu tego ciągu jest równy podwojonej sumie kwadratów pozostałych wyrazów tego ciągu. Ponadto ciąg (a+ 7 5,b,c) jest geometryczny. Oblicz wyrazy ciągu .

Zadanie 14

(6 pkt)

Dane są parabola o równaniu y = 1x 2 2 oraz punkty A = (− 2,6) i B = (0,4) (zobacz rysunek).

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC , których wierzchołek leży na tej paraboli. Niech oznacza pierwszą współrzędną punktu .

Wyznacz pole trójkąta jako funkcję zmiennej .
Wyznacz wszystkie wartości , dla których trójkąt jest ostrokątny.

Zadanie 15

(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie prostokąty ABCD , których wierzchołki i leżą na wykresie funkcji określonej wzorem f(x ) = -1-4 27x dla x ⁄= 0 . Punkty i leżą na wykresie funkcji określonej wzorem 2 4 7 g(x) = − 5 x − 9 i są położone symetrycznie względem osi (zobacz rysunek). Oblicz współrzędne wierzchołka , dla którego pole prostokąta ABCD jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.