/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom podstawowy 4 kwietnia 2020 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1

(1 pkt)

Liczba ( ) lo g√- log (sin13 5∘) 2 0,5 jest równa
A) 1 2 B) − 2 C) 2 D) − 1 2

Zadanie 2

(1 pkt)

Liczba naturalna n = 158 ⋅ 163 w zapisie dziesiętnym ma
A) 14 cyfr B) 15 cyfr C) 11 cyfr D) 8 cyfr

Zadanie 3

(1 pkt)

Liczba -8116:3√-3 9−13⋅2713 jest równa
A) 323 B) C) 3− 13 D) 3− 1

Zadanie 4

(1 pkt)

W trakcie testów drogowych samochód numer 1 poruszał się ze stałą prędkością i pokonał trasę o 20% dłuższą, niż samochód nr 2, który poruszał się ze stałą prędkością . Czas w jakim samochód nr 2 pokonał swoją trasę był o 25% krótszy, niż czas w jakim swoją trasę pokonał samochód nr 1. Stosunek prędkości v v12 jest równy
A) 1 B) -9 10 C) 24 25 D)

Zadanie 5

(1 pkt)

Para liczb x = − 2 i y = − 1 jest rozwiązaniem układu równań { 3x − a2y = − 2 ax + 3y = 1 , dla
A) a = 2 3 B) a = 2 C) 2 a = − 3 D) a = −2

Zadanie 6

(1 pkt)

Równanie (x− 1)(x+2)(x−3) ------x+3------= 0
A) ma trzy różne rozwiązania: x = − 1, x = 2, x = − 3 .
B) ma trzy różne rozwiązania: x = 1, x = − 2, x = 3 .
C) ma dwa różne rozwiązania: .
D) ma dwa różne rozwiązania: .

Zadanie 7

(1 pkt)

Do wykresu funkcji liniowej √ -- f(x) = − ( 5+ m )x nie należy żaden punkt o obu współrzędnych dodatnich. Wynika stąd, że
A) √ -- m ≤ − 5 B) √ -- m ≤ 5 C) √ -- m ≥ − 5 D) √ -- m ≥ − 5 5

Zadanie 8

(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej . Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (− 3,2) .

Zbiorem wartości funkcji jest przedział
A) (− ∞ ,2⟩ B) ⟨ ⟩ − 92, 52 C) ⟨− 3,+ ∞ ) D) (− ∞ ,3⟩

Zadanie 9

(1 pkt)

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej są liczby − 5 i 6, a miejscami zerowymi funkcji g (x ) = f(x + a) są liczby 1 i 12. Wynika stąd, że
A) a = −6 B) a = − 5 C) a = 5 D) a = 6

Zadanie 10

(1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności √ -- √ -- x (x− 2 2) > x − 2 2 jest zbiór
A) (− ∞ ,− 2√ 2) ∪ (1,+ ∞ ) B)
C) √ -- (− ∞ ,− 1)∪ (2 2,+ ∞ ) D) √ -- (− ∞ ,1) ∪ (2 2,+ ∞ )

Zadanie 11

(1 pkt)

Wyrażenie (2x + 3 )(3− 2x )− (2− 3x)2 zapisać można w postaci
A) 5 + 12x − 1 3x2 B) 5 − 5x2 C) 2 13 − 5x D) 2 5− 12x + 7x

Zadanie 12

(1 pkt)

Dany jest nieskończony rosnący ciąg geometryczny (an) o wyrazach dodatnich. Iloraz tego ciągu jest jednym z pierwiastków równania kwadratowego 2 x + x − 1 = 0 . Zatem wartość wyrażenia

a -----2019----- a2021 + a2020

jest równa
A) − 1 B) √ -- 5 C) √ - --5−1 2 D) 1

Zadanie 13

(1 pkt)

Dany jest ciąg arytmetyczny (x+ 1,2x + 1,3x + 1 ,4x+ 1,6x + 2) . Wtedy
A) x = 1 B) x = 0 C) x = 2 D) x = − 1

Zadanie 14

(1 pkt)

Wartość wyrażenia 2 ∘ 2 ∘ 2 ∘ 3 cos 24 + 2 cos 66 + sin 24 jest równa
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Zadanie 15

(1 pkt)

Punkty B,C i leżą na okręgu o środku i promieniu . Punkt jest punktem wspólnym prostych i , a odcinki i są równej długości. Miara kąta BCS jest równa 42 ∘ (zobacz rysunek). Wtedy

A) α = 14∘ B) α = 42∘ C) α = 2 1∘ D) α = 18∘

Zadanie 16

(1 pkt)

Dany jest romb o boku długości 4 i polu równym 8. Kąt rozwarty tego rombu ma miarę
A) ∘ 120 B) ∘ 135 C) ∘ 15 0 D) ∘ 175

Zadanie 17

(1 pkt)

Proste o równaniach -x- y = 2m − m i x = (3m − 4)y + m są równoległe, gdy
A) m = 23 B) m = − 14 C) m = 4 D) m = − 5

Zadanie 18

(1 pkt)

Boki równoległoboku są zawarte w prostych o równaniach: x = − 5 , x = 4 , y = x− 2 , y = x+ 3 . Pole tego równoległoboku jest równe
A) 45 B) √ -- 22 ,5 2 C) √ -- 45 2 D) 22,5

Zadanie 19

(1 pkt)

W układzie współrzędnych punkt S = (42,56) jest środkiem odcinka , którego jednym z końców jest punkt K = (6,8) . Zatem
A) L = (84,112) B) L = (24,32) C) L = (78,104) D) L = (9 0,120)

Zadanie 20

(1 pkt)

Dane są punkty o współrzędnych A = (− 7,1 1) oraz B = (− 4,7) . Średnica okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku jest równa
A) 10 B) 5 C) √ -- 5 3 D) 5√-3 2

Zadanie 21

(1 pkt)

W grupie 50 kobiet i 50 mężczyzn przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli.

Liczba książek	0	1	2	3	4	5
Liczba osób	19	21	24	21	7	8

W trakcie analizy tych danych zauważono, że kobiety przeczytały średnio o dwie książki więcej niż mężczyźni. Średnia liczba przeczytanych książek przez jednego ankietowanego mężczyznę jest równa
A) 1,5 B) 1 C) 2 D) 2,5

Zadanie 22

(1 pkt)

Pole powierzchni całkowitej pewnego stożka jest 5 razy większe od pola powierzchni pewnej kuli. Promień tej kuli jest taki sam jak promień podstawy tego stożka. Tworząca tego stożka jest nachylona do podstawy pod kątem takim, że
A) cosα = 14 B) co sα = 119 C) co sα = 1 5 D) cosα = 1- 20

Zadanie 23

(1 pkt)

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat ABCD o boku długości 12. Krawędź boczna jest prostopadła do podstawy i ma długość 9 (zobacz rysunek).

Pole ściany BCS tego ostrosłupa jest równe
A) 180 B) 108 C) 54 D) 90

Zadanie 24

(1 pkt)

Wszystkich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry: 5, 2, 4, 8, 7, jest
A) 500 B) 625 C) 250 D) 200

Zadanie 25

(1 pkt)

W grupie 24 osób (mężczyzn i kobiet) jest 3 razy więcej kobiet niż mężczyzn. Z grupy tej losujemy 2 osoby. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej osoby jest takie samo. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowano osoby różnej płci to
A) 18 23 B) 3 8 C) -9 23 D)

Zadania otwarte

Zadanie 26

(2 pkt)

Wyznacz największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność: -- --- -- 2x(√ 8 − x ) ≥ 3√ 16(x − √ 8) .

Zadanie 27

(2 pkt)

Rozwiąż równanie 3 4 (19 6x− x )(216x + x ) = 0 .

Zadanie 28

(2 pkt)

Wykaż, że jeżeli a > b > 3 , to ab+ 6 > 2b + 3a .

Zadanie 29

(2 pkt)

Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą 17.

Zadanie 30

(2 pkt)

Wierzchołki i trójkąta ABC leżą na okręgu o promieniu , a środek tego okręgu leży na boku trójkąta (zobacz rysunek). Prosta jest styczna do tego okręgu w punkcie , a ponadto |∡ACB | = 120∘ . Wykaż, że √ -- |AC | = r 3 .

Zadanie 31

(2 pkt)

Prosta 25 x = 3 jest osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej y = f(x ) . Do wykresu tego należy punkt o współrzędnych ( ) − 523,16 . Wyznacz wszystkie rozwiązania równania f (x) = 16 .

Zadanie 32

(4 pkt)

Ciąg arytmetyczny (an ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Różnicą tego ciągu jest liczba r = − 3 , a średnia arytmetyczna początkowych siedmiu wyrazów tego ciągu: a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 , jest równa − 2 8 .

Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Wyznacz najmniejszą liczbę , dla której .

Zadanie 33

(5 pkt)

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawędziach bocznych AD ,BE i (zobacz rysunek). Przez krawędź poprowadzono płaszczyznę nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem 30 ∘ . Płaszczyzna ta przecina krawędź w punkcie . Oblicz pole trójkąta ABP jeżeli objętość ostrosłupa ABCP jest równa √ -- 9 3 .