/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 3 marca 2018 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba rozwiązań równania |3 − |1− x2|| = 2 jest równa
A) 6 B) 4 C) 2 D) 5

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba -√-1log-5 ( 2) 4 jest równa
A) √ --- -4125 25 B) √-1-- 4125 C) √ --- 4-125- 5 D) √ - -45 5

Zadanie 3
(1 pkt)

Bok AB trójkąta ABC jest średnicą okręgu o środku S , a boki AC i BC przecinają ten okrąg odpowiednio w punktach D i E (zobacz rysunek). Ponadto ∘ |∡ABC | = 47 i ∘ |∡BAC | = 67 .

PIC

Zaznaczony na rysunku kąt α jest równy
A) 43∘ B) 2 4∘ C) 23∘ D) 20∘

Zadanie 4
(1 pkt)

Ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, których iloczyn cyfr jest różny od 49?
A) 899 970 B) 899 969 C) 899 985 D) 899 984

Zadanie 5
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pochodnej y = f′(x) funkcji y = f (x) .

PIC

Wynika stąd, że
A) f(7 ) < f(0) B) f(6 ) < f(5) C) f(− 6) > f (− 5) D) f (− 5) > f(0)

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Oblicz sumę szeregu

√ 2- 2 2√ 2- 4 4√ 2- 8 8√ 2- 16 16√ 2- √---− --+ -√---− --+ -√---− ---+ ---√--− ---+ --√---− ... 3 3 3 3 9 9 3 27 27 3 81 81 3

Zadanie 7
(2 pkt)

Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = − 2x7 w punkcie x = − 1 0 .

Zadanie 8
(2 pkt)

Doświadczenie losowe polega na tym, że losujemy jednocześnie dwie liczby ze zbioru

{1,2,3,4,5,6,7 }.

Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że wśród wylosowanych liczb jest liczba 6, pod warunkiem, że suma wylosowanych liczb jest parzysta.

Zadanie 9
(3 pkt)

Oblicz granicę jednostronną funkcji 2x2−|x3| lim + x4+4x3+4x2 x→ −2 .

Zadanie 10
(3 pkt)

W trójkącie ABC bok AC ma długość b , |∡BAC | = α oraz |∡ABC | = β . Wykaż, że pole trójkąta ABC jest równe

b2sin2 α b2 sin 2α -2-tgβ---+ ----4----.

Zadanie 11
(3 pkt)

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF , w którym wszystkie krawędzie mają tę samą długość. Wykaż, że jeżeli przekrój tego graniastosłupa płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy AB jest trapezem, to płaszczyzna ta jest nachylona do płaszczyzny podstawy ABC tego graniastosłupa pod takim kątem α , że √ - 2-3- tg α > 3 .

Zadanie 12
(4 pkt)

Funkcja 4 2 f (x) = x + ax + b przyjmuje wartość 1 dla czterech argumentów:

∘ --------- ∘ --------- ∘ --------- ∘ --------- √ --- √ --- √ --- √ --- x1 = ---5+----17, x2 = − --5-+---1-7, x 3 =--5-−---17-, x4 = − --5-−---17-. 2 2 2 2

Oblicz najmniejszą wartość tej funkcji.

Zadanie 13
(4 pkt)

Oblicz sumę długości środkowych trójkąta o długościach boków: 2, 3 i 4.

Zadanie 14
(5 pkt)

Ciąg (an) jest geometryczny, a ciąg (bn) jest arytmetyczny. Pierwszy wyraz a 1 ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego (bn) . Wyrazy ciągu (an) są liczbami całkowitymi, a suma dwóch początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 28. Natomiast pierwszy wyraz b1 ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego (an) . Suma siedmiu pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego (bn) jest równa 126. Wyznacz te ciągi.

Zadanie 15
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

4x2 − 6(m + 3)x + (2m + 9)m = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x 1 i x2 , przy czym x 1 < x2 , spełniające warunek

(6x 1 − 6x 2 − 5 )(6x 1 − 6x2 + 5) < 0.

Zadanie 16
(5 pkt)

Wyznacz równanie okręgu stycznego wewnętrznie do okręgu o równaniu (x − 2)2 + y 2 = 4 i do prostej y = 0 , którego środek ma współrzędne różnych znaków i leży na wykresie funkcji y = −x 3 + 1 4 .

Zadanie 17
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie stożki o tworzącej długości l . Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania