/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 18 marca 2023 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(2 pkt)

Oblicz granicę −-0,5x2+x+7,5 lxi→m− 3x3+4x2+4x+ 3

Zadanie 2
(3 pkt)

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie trzy cyfry nieparzyste.

Informacja do zadań 3.1 i 3.2

Dany jest ośmiokąt foremny ABCDEF GH o boku długości 1.

PIC
Zadanie 3.1
(4 pkt)

Udowodnij, że pole trójkąta BEG jest równe -√---1----- 2 34−24√2 .

Zadanie 3.2
(3 pkt)

Niech T będzie środkiem odcinka BG . Oblicz długość odcinka ET .

Zadanie 4
(5 pkt)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Czwarty wyraz tego ciągu jest o 7 4 większy od drugiego wyrazu i jest mniejszy niż trzeci wyraz. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa ( ) 64 − 7 . Wyznacz wszystkie wartości n , dla których spełniona jest nierówność

| | ||---1---||> 7, |S − Sn |

gdzie Sn oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu (an) , a S jest sumą wszystkich wszystkich wyrazów ciągu (an) .

Zadanie 5
(3 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x mniejszej od − 1 i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 5x 2 − 12xy + 18y2 − 6x − 9 > 0 .

Zadanie 6
(6 pkt)

Prosta k o równaniu x + y + 8 = 0 przecina parabolę o równaniu y = − 1x2 − 5x − 5 4 2 4 w punktach A oraz B . Pierwsza współrzędna punktu A jest liczbą ujemną; pierwsza współrzędna punktu B jest liczbą dodatnią. Prosta l jest równoległa do prostej k i styczna do danej paraboli w punkcie C . Oblicz odległość punktu C od prostej k oraz pole trójkąta ABC .

Zadanie 7
(4 pkt)

Rozwiąż równanie

2 cos x+ cos(3x) = 0

w zbiorze [− π ,π] .

Zadanie 8
(4 pkt)

W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki AB i AC tego trójkąta w punktach – odpowiednio – L i K . Punkt P jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Długości boków trójkąta ABC spełniają warunki: |AB |+ |AC | = 1 oraz

2 2 |BC | + 3|AC | = 3|AC | + 1.

Udowodnij, że punkt A leży na okręgu opisanym na trójkącie KLP .

Zadanie 9
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

mx 2 − (m + 1 )x + 1 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x 1 oraz x2 , spełniające warunek:

1-+ -1-+ 2 ≥ 1--+ -1- x1 x2 x21 x22

Zadanie 10
(7 pkt)

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, w którym tangens jednego z kątów ostrych jest równy m > 0 . Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają długość b > 0 . Jakie powinno być pole podstawy ostrosłupa, aby jego objętość była największa? Oblicz tę największą objętość.

Zadanie 11
(4 pkt)

Wśród kilkuset studentów, którzy przystąpili do egzaminu z matematyki dokładnie jedna trzecia nie znała odpowiedzi na pierwsze pytanie. Egzaminator 10 razy wybrał z tej grupy studentów osobę i sprawdził czy zna odpowiedź na pierwsze pytanie (jedna osoba mogła zostać wybrana kilkukrotnie). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród tych wybranych 10 osób więcej niż połowa zna odpowiedź na pierwsze pytanie.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania