/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 6 marca 2021 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Nieskończony malejący ciąg geometryczny (a ) n , określony dla n ≥ 1 , spełnia warunki:

3- 1- a1 = 2 i an+1 = 2an− 1 dla n ≥ 2 .

Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa
A) 2 3 B) √ -- 2+ 2 C) √ - 1 − -22 D) √ -- 3 + 32 2

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba ∘ 1 tg 75 + tg75∘ jest równa
A) 1 2 B) √ - 16-3- 3 C) 4 D) 3√-3 4

Zadanie 3
(1 pkt)

Mamy dwie urny. W pierwszej jest 5 kul białych i 5 kul czarnych, w drugiej są 3 kule białe i 7 kul czarnych. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek, od jednego oczka do sześciu oczek. Jeśli w wyniku rzutu otrzymamy ściankę z liczbą oczek podzielną przez 3, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – losujemy jedną kulę z drugiej urny. Wtedy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe
A) 1330 B) 15 C) 1310 D) 13 15

Zadanie 4
(1 pkt)

Granica (3−2n4)3- nli→m+ ∞ (2−3n3)4 jest równa
A) 16 27 B) − 243 128 C) 243 -16 D) 8 − 81

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

Suma dwóch liczb jest równa √ -- 7 , a ich różnica jest równa √ -- 3 . Wykaż, że iloczyn tych liczb jest liczbą całkowitą.

Zadanie 6
(3 pkt)

Wyznacz dziedzinę funkcji 2 3 f(x) = log 2 15x−32x−x-- x x + 3

Zadanie 7
(3 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu W (x) = x9 + 4a2x7 + 12ax2 + 6x przez dwumian (x + 1) jest równa 2. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W (x ) przez dwumian (x − 1) .

Zadanie 8
(4 pkt)

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji x2+1 f(x ) = x− 3 określonej dla x ⁄= 3 .

Zadanie 9
(3 pkt)

Miara kąta wewnętrznego n –kąta foremnego jest o ∘ 3 mniejsza od miary kąta wewnętrznego (n + 6) – kąta foremnego. Oblicz n .

Zadanie 10
(4 pkt)

Dane jest równanie kwadratowe 2 2 x − (3m − 1)x + 2m + 3m − 20 = 0 z niewiadomą x . Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których różne rozwiązania x1 i x2 tego równania istnieją i spełniają warunek

3x 21 − 4x1x2 + 3x22 = 3 38.

Zadanie 11
(4 pkt)

Rozwiąż równanie √ -- 3 tgx sinx = 3co sx − 2 3 sin x w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 12
(5 pkt)

Punkt styczności okręgu o promieniu r wpisanego w trapez równoramienny dzieli ramię trapezu w stosunku 2:5. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trapezie.

Zadanie 13
(5 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz cosinus kąta utworzonego przez dwie sąsiednie ściany boczne.

Zadanie 14
(6 pkt)

Wierzchołki trójkąta ABC mają współrzędne: A = (− 6,3 ),B = (− 2,− 5),C = (3,0) . Okrąg o jest styczny do prostej AC , a jego środek jest punktem przecięcia się wysokości trójkąta ABC . Okrąg o przecina prostą BC w punkcie D ⁄= B . Oblicz iloraz |BD | : |DC | .

Zadanie 15
(7 pkt)

Dany jest okrąg o środku S i promieniu 12. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku S1 i promieniu x oraz drugi o środku S2 i promieniu 3x , o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:
– rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;
– obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku S i promieniu 12;
– punkty: S ,S1,S2 nie leżą na jednej prostej.

Zapisz pole trójkąta SS 1S2 jako funkcję zmiennej x . Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania