/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 27 marca 2021 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1

(1 pkt)

Liczba sin2(75 ∘) jest równa
A) √ 3 − -2- B) 2+√ 3 --4-- C) 1 2 D) √- 2−--3 4

Zadanie 2

(1 pkt)

Prosta o równaniu 25y + 16x − 15 = 0 jest prostopadła do stycznej do wykresu funkcji 3−2x+ 2x3 f (x) = --1−3x--- w punkcie
A) ( ) 1,− 3 2 B) ( ) 1,− 9 2 C) ( 3) −1 ,4 D) ( 3) − 1,2

Zadanie 3

(1 pkt)

Dane są dwie urny z kulami. W pierwszej urnie jest 10 kul: 8 białych i 2 czarne, w drugiej jest 8 kul: 5 białych i 3 czarne. Wylosowanie każdej z urn jest jednakowo prawdopodobne. Wylosowano jedną z tych urn i wyciągnięto z niej losowo jedną kulę. Wyciągnięta kula była biała. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana kula pochodziła z drugiej z tych urn, jest równe
A) 13 18 B) 25 57- C) 50 57 D) -5 18

Zadanie 4

(1 pkt)

Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego ( √ -- √ -) 4 x 3 − y 2 do postaci ax 4 + bx3y + cx2y2 + dxy 3 + ey 4 współczynnik jest równy
A) − 6 B) √ -- 8 6 C) 36 D) √ -- − 12 6

Zadania otwarte

Zadanie 5

(2 pkt)

Dane są takie liczby dodatnie i , że ciąg ( ) log a,log a+b,log b 3 jest ciągiem arytmetycznym. Oblicz wartość wyrażenia a b b + a .

Zadanie 6

(3 pkt)

Przekątne czworokąta wypukłego ABCD dzielą go na cztery trójkąty. Wykaż, że jeżeli promienie okręgów opisanych na tych czterech trójkątach są równe, to w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

Zadanie 7

(3 pkt)

Liczby rzeczywiste i spełniają równość a3 + 3a2 + 3a = 8b3 + 12b2 + 6b . Wykaż, że a = 2b .

Zadanie 8

(4 pkt)

Wyznacz zbiór wartości funkcji

f(x ) = 1+ --1---+ ----1----+ ---1-----+ ⋅⋅⋅ x − 1 (x − 1 )2 (x− 1)3

określonej dla wszystkich wartości , dla których prawa strona powyższego wzoru jest sumą wyrazów zbieżnego szeregu geometrycznego.

Zadanie 9

(3 pkt)

Dany jest trapez ABCD o podstawach i , w którym √ -- |BC | = 5 2 . Okrąg opisany na trójkącie ABD przecina prostą w takim punkcie , że |AE | = 10 i |∡AED | = 45∘ . Oblicz długość podstawy trapezu ABCD .

Zadanie 10

(4 pkt)

Rozwiąż równanie

√ -- ( π ) ( π ) 3 3co s x − -- sin x − -- = --. 5 5 4

Zadanie 11

(4 pkt)

Sześcian ABCDKLMN przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy, która jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem takim, że 4 tg α = 3 (zobacz rysunek).

Odległość wierzchołka od płaszczyzny tego przekroju jest równa 6. Oblicz objętość sześcianu ABCDKLMN .

Zadanie 12

(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których oba pierwiastki równania

(3m + 1)x2 − (4m + 1)x + 12m = 0

są większe od 2.

Zadanie 13

(5 pkt)

Punkt jest punktem przecięcia się środkowych trójkąta równoramiennego ABC o podstawie . Okrąg o średnicy ma równanie x2 + y2 + 12x− 10y + 44 = 0 , a cięciwa tego okręgu równoległa do prostej i przechodząca przez punkt zawiera się w prostej o równaniu x − y + 14 = 0 . Wyznacz równanie okręgu o środku , który przechodzi przez punkty i .

Zadanie 14

(6 pkt)

Ze zbioru liczb {1 ,2...,6n + 1 } , n ≥ 1 losujemy kolejno trzy razy po jednej liczbie bez zwracania. Niech oznacza zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6. Oblicz granicę lim P (An ) n→ +∞ .

Zadanie 15

(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie trapezy ABCD , których wierzchołki i leżą na wykresie funkcji 2 1 f (x) = − 3 ⋅x2 − 1 określonej dla x ⁄= 0 . Punkt ma współrzędne (1,1) , a oś jest osią symetrii tego trapezu (zobacz rysunek).