/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 15 czerwca 2020 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Wielomian W określony wzorem 2019 2000 W (x ) = x − 3x + 2x + 6
A) jest podzielny przez (x − 1) i z dzielenia przez (x+ 1) daje resztę równą 6.
B) jest podzielny przez (x+ 1) i z dzielenia przez (x − 1 ) daje resztę równą 6.
C) jest podzielny przez (x − 1) i jest podzielny przez (x + 1) .
D) nie jest podzielny ani przez (x− 1) , ani przez (x + 1) .

Zadanie 2
(1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem 3n2+7n−5-- an = 11− 5n+5n2 dla każdej liczby n ≥ 1 . Granica tego ciągu jest równa
A) 3 B) 15 C) 35 D) − -5 11

Zadanie 3
(1 pkt)

Mamy dwie urny. W pierwszej są 3 kule białe i 7 kul czarnych, w drugiej jest jedna kula biała i 9 kul czarnych. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek, od jednego oczka do sześciu oczek. Jeśli w wyniku rzutu otrzymamy ściankę z jednym oczkiem, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – losujemy jedną kulę z drugiej urny. Wtedy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe
A) 125 B) 15 C) 45 D) 13 15

Zadanie 4
(1 pkt)

Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego ( √ -- √ -) 4 x 2 + y 3 do postaci ax 4 + bx3y + cx2y2 + dxy 3 + ey 4 współczynnik c jest równy
A) 6 B) 36 C) √ -- 8 6 D) √ -- 12 6

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

W trójkącie ABC bok AB jest 3 razy dłuższy od boku AC , a długość boku BC stanowi 45 długości boku AB . Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta ABC .

Zadanie 6
(3 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru a , dla których równanie |x − 5| = (a − 1)2 − 4 ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Zadanie 7
(3 pkt)

Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AC | = |BC | = 6 , a punkt D jest środkiem podstawy AB . Okrąg o środku D jest styczny do prostej AC w punkcie M . Punkt K leży na boku AC , punkt L leży na boku BC , odcinek KL jest styczny do rozważanego okręgu oraz |KC | = |LC | = 2 (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że |AM | |MC-|-= 45 .

Zadanie 8
(3 pkt)

Liczby dodatnie a i b spełniają równość a 2 + 2a = 4b2 + 4b . Wykaż, że a = 2b .

Zadanie 9
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 3 cos2x + 10co s2 x = 24 sinx − 3 dla x ∈ ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 10
(5 pkt)

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym (a1,a2,a3) spełniona jest równość a1 + a2 + a 3 = 241 . Wyrazy a1, a2, a 3 są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz a 1 .

Zadanie 11
(4 pkt)

Dane jest równanie kwadratowe x2 − (3m + 2)x + 2m2 + 7m − 15 = 0 z niewiadomą x . Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których różne rozwiązania x 1 i x 2 tego równania istnieją i spełniają warunek

2 2 2x1 + 5x1x2 + 2x2 = 2.

Zadanie 12
(5 pkt)

Prosta o równaniu x + y − 10 = 0 przecina okrąg o równaniu 2 2 x + y − 8x− 6y + 8 = 0 w punktach K i L . Punkt S jest środkiem cięciwy KL . Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku S i skali k = − 3 .

Zadanie 13
(4 pkt)

Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2.

Zadanie 14
(6 pkt)

Podstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDS jest trapez ABCD (AB ∥ CD ). Ramiona tego trapezu mają długości |AD | = 10 i |BC | = 16 , a miara kąta ABC jest równa 30 ∘ . Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α , taki, że tg α = 9 2 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 15
(7 pkt)

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 60 cm 2 . Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.

PIC

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania