/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 12 marca 2022 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Różnica 2 ∘ 1 − 2 cos 1 65 jest równa
A) − 1 B) √ - --3 2 C) − 12 D) √- − -32-

Zadanie 2
(1 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu W (x) = 2x3 − 7x2 + x + 1 przez dwumian 3x + 1 jest równa
A) 13 27 B) 55- 27 C) − 5- 27 D) 17 27

Zadanie 3
(1 pkt)

Wektory →a = [m − 3,m + 3] oraz → b = [m1,5,3] mają równe długości wtedy i tylko wtedy, gdy
A) m = − 3 lub m = 3 B) m = 9 lub m = − 1 C) m = 3 D) m = 1 lub m = − 3

Zadanie 4
(1 pkt)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym suma wszystkich wyrazów jest 5 razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych. Iloraz tego ciągu jest równy
A) 1 3 B) 4 5 C) 1 5 D) 1 4

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

Oblicz granicę √ -12--9- 6 lim --2n--−n6-−√(2−132n)7 n→+ ∞ (3−2n)+ 4n −n .

Zadanie 6
(3 pkt)

Niech √ -- lo g 36 = c 18 . Wykaż, że √- 6c−4 lo g 3 54 = 3c−1 .

Zadanie 7
(3 pkt)

Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego ABC zbudowano kwadraty tak, że bok każdego kwadratu jest jednocześnie bokiem trójkąta. Środki symetrii tych kwadratów połączono odcinkami i otrzymano trójkąt MNP . Wykaż, że pole trójkąta MNP jest dwa razy większe od pola trójkąta ABC .

PIC

Zadanie 8
(3 pkt)

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji 3 f(x) = (x − 2 ) − 3x .

Zadanie 9
(4 pkt)

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez 18, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez 24.

Zadanie 10
(4 pkt)

Dany jest sześcian ABCDEF GH o krawędzi długości 2. Punkt S jest środkiem krawędzi GC (zobacz rysunek). Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie EDS .

PIC

Zadanie 11
(4 pkt)

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania 2 2 cos 2x − 5sin 2x− 4 = 0 należące do przedziału ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 12
(5 pkt)

Wyznacz równania prostych stycznych do okręgu o równaniu 2 2 x + y − 10x + 6y + 9 = 0 równoległych do prostej o równaniu 3x + 4y − 7 = 0 .

Zadanie 13
(5 pkt)

Wysokość DE rombu ABCD dzieli bok AB tego rombu tak, że 3 |AE | : |EB | = 2 (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz wartość wyrażenia

( ) ( ) sin4 π-+ α- + sin4 π-+ β- , 8 4 8 4

gdzie α i β są dwoma sąsiednimi kątami wewnętrznymi rombu ABCD .

Zadanie 14
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których funkcja kwadratowa f określona wzorem

f (x) = (2m + 3)x2 − (m + 3)x+ m − 2

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x , x 1 2 spełniające warunek 2 (x1 − x2) + 5x 1x 2 ≥ 1 .

Zadanie 15
(7 pkt)

Dana jest funkcja 2 f (x) = x − 1 określona dla x ∈ (− ∞ ,0) . W jakim punkcie wykresu tej funkcji należy poprowadzić styczną tak, aby trójkąt ograniczony tą styczną i osiami układu współrzędnych miał najmniejsze pole? Oblicz to pole.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania