/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki (CEN Bydgoszcz)
poziom rozszerzony 7 marca 2019 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Granica 4x3−-7x+3- lixm→1 2x2−x− 1 jest równa
A) 1 3 B) 2 3 C) 1 2 3 D) 1 33

Zadanie 2
(1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności ||x+ 1|+ 5 | < ||x + 2|− 3|+ 5 jest
A) (− 3,0) B) R C) (0,3) D) ∅

Zadanie 3
(1 pkt)

Funkcja f (x) = 2xx+−24- jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 2 . Wówczas pochodna tej funkcji dla argumentu √ -- x = 2 − 3 jest równa
A) 23 B) − 23 C) √ - 43-3 D) 2−-√3 3

Zadanie 4
(1 pkt)

Dla dowolnej liczby rzeczywistej x ∈ (0 ,1)∪ (1,+ ∞ ) zachodzi zależność 3 2 lo gm x = 2 log2x . Wartość parametru m jest równa
A) 3 4 B) 34 2 C) 43 2 D) 43

Zadanie 5
(1 pkt)

W trójkącie ABC dane są wierzchołki A = (2,2) , B = (9,3) , C = (3,5) . Trójkąt A 1B1C 1 jest obrazem trójkąta ABC w jednokładności o środku S = (0,3) i skali k . Trójkąty te leżą po przeciwnych stronach osi rzędnych. Promień okręgu opisanego na trójkącie A 1B 1C1 ma długość 15√ 2 -2--- . Skala jednokładności k wynosi
A) − 3 B) − 1 3 C) 1 3 D) 3

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7 } losujemy kolejno bez zwracania dwie. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb jest podzielna przez 3, jeżeli pierwsza z wylosowanych liczb jest liczbą pierwszą.

Zadanie 7
(3 pkt)

Wyznacz zbiór wartości funkcji 1 2 f(x) = 2 sin 2x+ cos x , gdzie x ∈ R .

Zadanie 8
(3 pkt)

Dwa boki trójkąta ostrokątnego wpisanego w okrąg o promieniu R mają długości 3 2R i √ -- R 3 . Wykaż, że długość trzeciego boku wynosi √ --- R4(3 + 21) .

Zadanie 9
(3 pkt)

Ciąg (an) jest geometryczny o wyrazie pierwszym równym a1 ⁄= 0 i ilorazie q ∈ R ∖ {0 ,1} , Oblicz sumę S = a + 2a + 3a + ...+ 2019a 2019 1 2 3 2019 .

Zadanie 10
(4 pkt)

Wielomian W (x) = x3 − (a+ b)x2 − (a− b)x − 8 jest podzielny przez dwumian (x + 1) , a reszta z dzielenia wielomianu W (x ) przez dwumian (x + 3) wynosi − 2 . Oblicz a i b , a następnie rozwiąż nierówność W (x) < 4 .

Zadanie 11
(4 pkt)

W trapez można wpisać okrąg o promieniu 4 i jednocześnie na tym trapezie można opisać okrąg. Kąt ostry trapezu ma miarę ∘ 30 . Oblicz promień okręgu opisanego na tym trapezie.

Zadanie 12
(4 pkt)

Wykaż, że zbiór ( ) A = − 1;1 ∪ (1;+ ∞ ) 2 jest zbiorem wartości funkcji

f(x ) = --x---+ ----x----+ ---x-----+ ⋅⋅⋅ x − 2 (x − 2 )2 (x − 2)3

Zadanie 13
(6 pkt)

Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania

mx m + 1 ------ + ------ = x+ 1 m − 1 x

jest nie większa od 2m + 1 ?

Zadanie 14
(7 pkt)

Na krzywej xy = 6 obrano punkty A(2,3 ) i B(6,1) . Znajdź na tej krzywej taki punkt C o ujemnej odciętej, aby pole trójkąta ABC było najmniejsze.

Zadanie 15
(5 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy b i kącie nachylenia krawędzi bocznej do krawędzi podstawy α . Oblicz pole przekroju płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek i równoległą do krawędzi podstawy oraz nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem β . Podaj konieczne założenia dotyczące kąta α .

Zadanie 16
(4 pkt)

W pierwszej urnie są 4 kule zielone i 5 czerwonych, w drugiej urnie 3 zielone i 6 czerwonych. Z pierwszej urny losujemy jedną kulę i przekładamy ją do drugiej urny. Następnie do drugiej urny dokładamy 2 kule tego samego koloru co wylosowana kula. Losujemy dwie kule z drugiej urny. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie będą zielone.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania