/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 27 lutego 2021 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba ∘ co s1950 jest równa
A) √ - − -23 B) 12 C) √- 23- D) − 1 2

Zadanie 2
(1 pkt)

Jacek wykonał rzut trzema sześciennymi kostkami do gry i otrzymał sumę oczek mniejszą niż 5. Prawdopodobieństwo, że Jacek wyrzucił przynajmniej jedną dwójkę jest równe
A) 1 4 B) 1 6 C) 3 4 D) -3 16

Zadanie 3
(1 pkt)

Granica jednostronna lim x2−3x−7- x→3− x−3
A) jest liczbą rzeczywistą B) jest równa + ∞ C) nie istnieje D) jest równa − ∞

Zadanie 4
(1 pkt)

Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego ( √ --)6 x + y 2 do postaci

ax 6 + bx5y + cx4y2 + dx 3y 3 + ex 2y4 + fxy5 + gy 6

współczynnik b jest równy
A) √ -- 6 2 B) 6 C) √ -- 3 2 D) 12

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x ) = x6 + 4x − 3 dla każdej liczby rzeczywistej x . Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu funkcji f , która jest równoległa do prostej y = − 2x + 3 .

Zadanie 6
(3 pkt)

Przez wierzchołek kąta prostego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 8 i 15 poprowadzono prostą, która dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Znajdź stosunek promieni okręgów wpisanych w otrzymane z podziału trójkąty.

Zadanie 7
(3 pkt)

W kwadrat o boku a wpisujemy okrąg. W ten okrąg wpisujemy kwadrat, w który wpisujemy okrąg itd. W ten sposób powstanie nieskończony ciąg kwadratów. Oblicz sumę obwodów wszystkich tych kwadratów.

Zadanie 8
(3 pkt)

Liczby dodatnie a i b spełniają równość 2 2 a + 4a = 9b + 12b . Wykaż, że a = 3b .

Zadanie 9
(4 pkt)

Rozwiąż równanie [ ( π-) ( π)] 1 (sin x)⋅ co s x − 3 + cos x+ 3 = 2 co sx .

Zadanie 10
(4 pkt)

Z urny zawierającej 7 kul białych i 3 kule czarne wylosowano bez zwracania 4 kule. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że stosunek liczby kul czarnych do liczby kul białych w urnie uległ zwiększeniu?

Zadanie 11
(4 pkt)

W prostokącie ABCD , w którym |AB | = 5 , √ --- |AD | = 11 , na przekątnej AC wybrano taki punkt E , że |AE | : |EC | = 4 : 2 . Oblicz sinus kąta EBC .

Zadanie 12
(5 pkt)

Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach A = (0,2) i B = (−2 ,0) oraz jest styczny do prostej l w punkcie C = (− 1,a) , gdzie a > 1 . Wyznacz równanie prostej l .

Zadanie 13
(5 pkt)

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym poprowadzono płaszczyznę p wyznaczoną przez wysokość dolnej podstawy i ten z wierzchołków górnej podstawy, że płaszczyzna p z płaszczyzną podstawy graniastosłupa tworzy kąt ostry α taki, że √- cosα = -33- . Pole przekroju graniastosłupa wyznaczonego przez płaszczyznę p jest równe S . Oblicz objętość graniastosłupa.

Zadanie 14
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie (m 2 − m)x 2 − x + 1 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x ,x 1 2 takie, że --1-- ≤ m-≤ 1-+ 1- x1+x2 6 x1 x2 .

Zadanie 15
(7 pkt)

Betonowy kanał wodny ma mieć przekrój w kształcie trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa i ramiona mają długość po 2 m. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby przez kanał mogło przepłynąć jak najwięcej wody, czyli aby pole powierzchni przekroju kanału było największe. Oblicz to pole przekroju.

PIC

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania