/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 18 kwietnia 2015 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1

(1 pkt)

Wielomian W (x) = x4 + ax3 + ax2 + bx − 5 jest podzielny przez wielomian x 2 − 1 . Wynika stąd, że
A) a + b = 0 B) a = b C) a + 2b = 4 D) b = 2a

Zadanie 2

(1 pkt)

Liczba √- √ -- √- √ -- log 32 3⋅log 33 2 jest równa
A) B) C) (log2 3)2 D) (log 2)2 3

Zadanie 3

(1 pkt)

Funkcja f (x) = − 4x3 − ax + 3x + 4 jest funkcją malejąca jeżeli
A) a ≥ 3 B) a ≤ 3 C) a ∈ ⟨− 3,3⟩ D) a ∈ ⟨− 4,− 3⟩

Zadanie 4

(1 pkt)

Wyrażenie cosx − cos 3x jest równe
A) 2 4 sin x cosx B) 1− cos4x C) − 2sin 2xsin x D) 2co s2x cosx

Zadanie 5

(1 pkt)

Funkcja jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem x+3 f(x ) = 2 − 2 . Prosta ma równanie y = − 2,1 . Ile punktów wspólnych mają wykres funkcji i prosta ?
A) Zero. B) Jeden. C) Dwa. D) Nieskończenie wiele.

Zadania otwarte

Zadanie 6

(2 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których wśród rozwiązań równania

|m − 5x| = 3

są zarówno liczby dodatnie, jak i ujemne.

Zadanie 7

(2 pkt)

Oblicz granicę 3x xli→m− ∞ log(1−x)- .

Zadanie 8

(2 pkt)

Funkcja jest określona wzorem f(x ) = -x2- x+3 dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= − 3 . Oblicz pochodną funkcji w punkcie x = 6 .

Zadanie 9

(2 pkt)

W loterii szkolnej losujemy jeden spośród 100 losów, przy czym w przypadku wyciągnięcia losu przegrywającego możemy wylosować jeszcze jeden los. Ile losów w tej loterii jest wygrywających, jeżeli prawdopodobieństwo wygranej jest równe 19 55 ?

Zadanie 10

(3 pkt)

Wykaż, że jeżeli a < b ≤ − 2 , to 3 3 2a+a4 > 2+bb-4 .

Zadanie 11

(3 pkt)

Uzasadnij, że jeżeli i są liczbami całkowitymi i √ -- x + y = 3 a oraz √3-- x− y = b , to 2y3 + 6x 2y też jest liczbą całkowitą.

Zadanie 12

(3 pkt)

Dana jest parabola o równaniu y = 2x2 − 3 i leżący na niej punkt o współrzędnej równej − 2 . Wyznacz równanie stycznej do tej paraboli w punkcie .

Zadanie 13

(3 pkt)

Monotoniczny ciąg geometryczny (an) jest zdeﬁniowany przez warunki

{ √ -- a1 = 5 an+2 = an − an +1.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (an) .

Zadanie 14

(3 pkt)

Wykaż, że

co s2x cosx − sin 4x sin x = co s3x cos2x .

Zadanie 15

(5 pkt)

Oblicz jakie długości powinny mieć boki prostokąta o polu równym , aby jego przekątna miała najmniejszą możliwą długość. Oblicz długość tej przekątnej.

Zadanie 16

(5 pkt)

Rzucamy cztery razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma kwadratów liczb oczek otrzymanych we wszystkich czterech rzutach będzie mniejsza niż 20.

Zadanie 17

(6 pkt)

Punkt jest punktem przecięcia się przekątnych równoległoboku ABCD , a punkt jest takim punktem boku tego równoległoboku, że |BP | : |P C | = 3 . Oblicz współrzędne spodka wysokości opuszczonej z wierzchołka tego równoległoboku na prostą , jeżeli −→ AB = [4,4] , −→ DS = [3 ,− 3] i ( ) P = 7, 7 2 2 .