/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 1 kwietnia 2017 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

W rozwinięciu wyrażenia √ -- (4 3x+ 2y)3 współczynnik przy iloczynie xy2 jest równy
A) √ -- 48 3 B) 288 C) √ -- 16 3 D) 144

Zadanie 2
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność |m − 3x | ≥ 5 .

PIC

Stąd wynika, że
A) m = − 3 B) m = −2 C) m = 4 D) m = 5

Zadanie 3
(1 pkt)

Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f′(x) .

PIC

Wskaż wykres funkcji y = f(x) .

PIC

Zadanie 4
(1 pkt)

Ciąg (an) dla każdego n = 0,1,2,...,2016 spełnia warunek an+1 = 3a 2017−n + n . Wyraz a3 tego ciągu jest równy
A) − 755,5 B) − 1511 C) − 6044 D) − 1510,5

Zadanie 5
(1 pkt)

Granica 3√ 3n−1−√324n+3 2 lim (3√-------√3----)- = 12 n→+ ∞ pn2+ 1+ pn2− 1 . Wynika stąd, że
A) √ -- p = 3 3 B) √ -- p = − 3 3 C) p = 9 D) p = − 3

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a ) n określony dla n ≥ 1 , w którym iloraz jest dwa razy większy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 14. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Zadanie 7
(2 pkt)

Liczby p i q są pierwiastkami równania x2 − 23x + 1 = 0 . Wykaż, że wartość wyrażenia -- -- √ p + √ q jest liczbą naturalną.

Zadanie 8
(2 pkt)

Wyznacz współrzędne środka okręgu, który jest obrazem okręgu o równaniu (x − 4)2 + (y + 7)2 = 1 2 w jednokładności o środku S = (− 8,9) i skali 1- 12 .

Zadanie 9
(2 pkt)

Oblicz promień okręgu opisanego na trapezie równoramiennym, w którym sinus kąta ostrego jest równy 3 4 , a przekątna ma długość 12.

Zadanie 10
(3 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 2 9 (n − n )(n + 1) jest podzielna przez 6.

Zadanie 11
(3 pkt)

Rozwiąż nierówność (2co sx + 3)(2 cosx − 1) < 0 w przedziale x ∈ (0 ,2π) .

Zadanie 12
(3 pkt)

O zdarzeniach losowych A , B wiadomo, że: P(A ∪ B) = 0 ,6, P (B) = 0 ,4 i P(A |B) = 0,25 . Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe P(B |A) .

Zadanie 13
(3 pkt)

Na bokach AB i BC prostokąta ABCD wybrano punkty K i L w ten sposób, że trójkąt DKL jest ostrokątny oraz |∡KDL | = α . Odcinek DM jest wysokością trójkąta DKL .

PIC

Wykaż, że |∡AMC | = 90 ∘ + α .

Zadanie 14
(4 pkt)

Dany jest ciąg (an ) określony dla każdej liczby całkowitej n ≥ 1 , w którym dla każdej liczby n ≥ 1 prawdziwe są równości

{ an+3 = an + 3n + 72 a = a + 5n + 65. n+5 n 6

Wykaż, że ciąg (an ) jest ciągiem rosnącym.

Zadanie 15
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność x−-2 x+1- x+ 1 + x+2 ≤ 2 .

Zadanie 16
(5 pkt)

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie występują co najmniej trzy cyfry nieparzyste.

Zadanie 17
(5 pkt)

W ostrosłup prawidłowy czworokątny wpisano sześcian tak, że jego cztery wierzchołki należą do wysokości ścian bocznych ostrosłupa, a pozostałe do płaszczyzny podstawy. Oblicz stosunek objętości ostrosłupa do objętości sześcianu jeżeli kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy α .

Zadanie 18
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie prostokąty ABCD , których dwa wierzchołki A i B leżą na odcinku o końcach (0,0) i (4 ,0) , a dwa pozostałe wierzchołki C i D leżą na paraboli o równaniu 1 2 y = 2x − 2 x (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz obwód tego z rozpatrywanych prostokątów, którego pole jest największe.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania