/Szkoła średnia

Lubelska próba przed maturą
z matematyki poziom rozszerzony 9 marca 2016 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Wiadomo, że log 2 = a oraz lo g3 = b . Zatem log 890 jest równy
A) a+-1 2b B) 2a+1 3b C) 2b+-1 3a D) 2a+-1 b

Zadanie 2
(1 pkt)

Ile jest liczb całkowitych spełniających nierówność x2 − 8|x|+ 10 ≤ − 5 ?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 6

Zadanie 3
(1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji y = f(x) jest przedział ⟨− 2,5) . Zatem zbiorem wartości funkcji y = − 3f (x) jest przedział
A) ⟨− 5,2) B) ⟨− 2,5) C) (− 15,6⟩ D) (− 6,15⟩

Zadanie 4
(1 pkt)

W turnieju szachowym rozegrano 36 partii. Każdy zawodnik rozegrał z każdy dokładnie 1 mecz. Ilu zawodników brało udział w turnieju?
A) 10 B) 9 C) 8 D) 7

Zadanie 5
(1 pkt)

Granica jednostronna x2+3x−21- lxi→m4− x2− 5x+ 4 jest równa
A) + ∞ B) − ∞ C) 5 3 D) − 5 3

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Dla jakiej wartości parametru m ∈ R funkcja f(x) = − 2x 5 + mx 3 + 2 8x+ 2 ma ekstremum w punkcie x = 2 ?

Zadanie 7
(2 pkt)

W czworokącie wypukłym ABCD poprowadzono przekątną AC . Okręgi wpisane w trójkąty ABC i ACD są styczne zewnętrznie. Wykaż, że w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

Zadanie 8
(2 pkt)

Określ dziedzinę i zbiór wartości funkcji 2 2 f(x ) = 1+ssiinn2xx−−scino4sxx- .

Zadanie 9
(5 pkt)

Dla jakich wartości parametru m ∈ R pierwiastek równania lo g43 − m = log2(x + 3) należy do przedziału ⟨3,4) ?

Zadanie 10
(3 pkt)

Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji 1 4 5 3 2 f (x) = − 2x + 3x − 5x + 11x + 12 , która jest równoległa do prostej o równaniu 4x − y + 7 = 0 .

Zadanie 11
(6 pkt)

Sprawdź dla jakiego m ∈ R pierwiastki wielomianu 3 2 W (x ) = x − (m + 1)x + (m − 3)x + 3 tworzą ciąg arytmetyczny?

Zadanie 12
(4 pkt)

Suma nieskończonego zbieżnego ciągu geometrycznego jest równa 56, a suma kwadratów wyrazów tego ciągu jest równa 448. Znajdź pierwszy wyraz tego ciągu i napisz wzór na wyraz ogólny.

Zadanie 13
(2 pkt)

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej m prawdziwa jest nierówność 8x2 − 4mx + 2m 2 ≥ 12x + 6m − 18 .

Zadanie 14
(5 pkt)

W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj zbiór tych wszystkich punktów o współrzędnych (b,c) , dla których różne pierwiastki x1 i x2 równania x2 − bx − 2c = 0 spełniają warunek 3 3 3 (x 1 + x 2) < x1 + x2 − 6 .

PIC

Zadanie 15
(6 pkt)

Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o stosunku boków 1:3. Objętość bryły jest równa 12. Oblicz wymiary tego prostopadłościanu, aby jego powierzchnia całkowita była najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą powierzchnię.

Zadanie 16
(3 pkt)

Doświadczenie losowe polega na tym, że losujemy jednocześnie trzy liczby ze zbioru

{ 1,2,3,4,5,6,7,8 ,9 }.

Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że wśród wylosowanych liczb będzie liczba 3, pod warunkiem, że suma wylosowanych liczb będzie nieparzysta. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego.

Zadanie 17
(5 pkt)

Okrąg o1 o równaniu 2 2 (x + 6) + (y + 7) = 5 0 oraz okrąg o2 o środku S 2 = (− 3,− 10) są wewnętrznie styczne, przy czym okrąg o 2 zawiera się w kole opisanym nierównością (x + 6)2 + (y + 7)2 ≤ 50 . Napisz równanie wspólnej stycznej do obu okręgów.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania