/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom podstawowy 18 marca 2023 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczbę ∘ -------- 725 ⋅√35- można zapisać w postaci
A) -4 521 B) 2 5 3 C) √ -- 35 D) √ --- 725

Zadanie 2
(1 pkt)

Do 1,6 kg roztworu soli dolano 0,9 litra wody i stężenie procentowe roztworu zmniejszyło się o 4,5 punktu procentowego. Jakie jest stężenie procentowe otrzymanego roztworu?
A) 8% B) 5% C) 9% D) 6%

Zadanie 3
(1 pkt)

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występuje przynajmniej jedna cyfra 2, jest
A) 648 B) 171 C) 252 D) 351

Zadanie 4
(1 pkt)

Liczby rzeczywiste x i y są dodatnie oraz x ⁄= y . Wyrażenie -1--− -1-- x−y x+y można przekształcić do postaci
A) x−2y- B) 2y x2−y2 C) --2x- x2−y 2 D) −-2xy- x+y

Zadanie 5
(2 pkt)

Na rysunku zaznaczono niektóre z kątów utworzonych przez prostą k i dwie równoległe do siebie proste m i n . (zobacz rysunek).

PIC

Dokończ zdanie. Wybierz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.
Układem równań, w którym zapisano prawidłowe zależności między miarami kątów utworzonych przez te proste, jest układ
A) { (α+ β)+ β = 90 ∘ α+ β = 2α − β B) { (α+ β)+ β = 18 0∘ 2α− β = α + β C) { (α + β) + β = 90∘ β = 2 α− β

D) { α+ β = 2α − β ∘ 180 − β = (2α − β) E) { α+ β = 90∘ β = 2α − β F) { 3α + 2 β = 360 ∘ 2α − β = 2β

Zadanie 6
(1 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem 1 f(x ) = − 2log √x- dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich x . Funkcja f przyjmuje wartość równą 1 2 dla argumentu x równego
A) 100 B) 0,01 C) √ --- 10 D) 1 000

Zadanie 7
(1 pkt)

Dla jakiej całkowitej wartości liczby x spełniona jest nierówność 8 x 35 13 < 7 < 48 ?
A) 4 B) 3 C) 2 D) 5

Zadanie 8
(1 pkt)

Spośród rysunków A–D wybierz ten, na którym prawidłowo zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność

|x + 2| ≤ 1.

PIC

Zadanie 9
(2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 2 35n − 21n jest podzielna przez 14.

Zadanie 10
(1 pkt)

Równanie

(x2 + x)(x+ 3)(x − 1) ---------2-------------= 0 x − x

ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie
A) jedno rozwiązanie: x = − 3
B) dwa rozwiązania: x = − 3, x = − 1
C) trzy rozwiązania: x = −3 , x = − 1, x = 0
D) cztery rozwiązania: x = − 3, x = − 1, x = 0, x = 1

Zadanie 11
(1 pkt)

Która z poniższych równości jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x ?
A) ∘ --------- (x+ 1)2 = x + 1 B) |− x| = x C) |x − 1| = x − 1 D) |x − 1|2 = (x − 1)2

Zadanie 12
(3 pkt)

Ze zbioru 26 liter alfabetu łacińskiego {A ,B ,C ,...,X ,Y,Z } losujemy bez zwracania trzy razy jedną literę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród wylosowanych liter znalazła się przynajmniej jedna z liter X , Y lub Z .

Zadanie 13
(1 pkt)

Dana jest nierówność

x- x- 3 − 2 ≤ 3 − 2.

Najmniejszą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest
A) 6 B) 5 C) 7 D) (− 6)

Informacja do zadań 14.1 i 14.2

Dany jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 8. Ze środka S boku AC zakreślono koło o promieniu równym połowie boku trójkąta (zobacz rysunek).

PIC
Zadanie 14.1
(1 pkt)

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Krótsze z łuków wyciętych przez punkty A i D , oraz D i E z danego okręgu, mają tą samą długość. PF
Odcinek AE jest dwa razy dłuższy od odcinka AD . PF

Zadanie 14.2
(1 pkt)

Pole powierzchni części wspólnej koła i trójkąta jest równe
A) √ -- 4 3 + 4 π 3 B) √ -- 8 3+ 4π 3 C) √ -- 8 8 3 + 3π D) √ -- 8 4 3+ 3π

Zadanie 15
(3 pkt)

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 8. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α takim, że co sα = 35 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 16
(1 pkt)

Klient banku wypłacił z okienka kasowego kwotę 4010 zł. Pracownik banku wydał kwotę w banknotach o nominałach 20 zł, 50 zł oraz 100 zł. Banknotów 100–złotowych było trzy razy więcej niż 50–złotowych, a banknotów 20–złotowych było o 3 mniej niż 50–złotowych. Ile banknotów 20–złotowych otrzymał klient?
A) 12 B) 6 C) 8 D) 11

Zadanie 17
(1 pkt)

Dany jest ciąg (an ) określony wzorem an = − 18 ⋅(− 3)2−n dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (an) jest równa 42. PF
Ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie równym ( ) 1 − 3 .PF

Zadanie 18
(1 pkt)

Punkty A = (1,4) i C = (4,− 2) wyznaczają przekątną kwadratu ABCD . Pole tego kwadratu jest równe
A) 45 B) 2 212 C) 18 D) 2√ 45-

Zadanie 19
(1 pkt)

Dany jest ciąg (an ) określony wzorem an = n 2 − 19n dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Szesnasty wyraz ciągu (a ) n jest większy od wyrazu piętnastego.PF
Ciąg (a ) n jest rosnący. PF

Zadanie 20
(2 pkt)

Dany jest równoległobok ABCD , w którym |AB | = 12 , |AD | = 7 oraz

5- sin ∡BAD + sin ∡ABC = 7 .

Oblicz pole równoległoboku ABCD .

Zadanie 21
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są: punkt A = (5,− 5) oraz okrąg o równaniu (x+ 4)2 + (y− 5)2 = 25 . Odległość punktu A od środka tego okręgu jest równa
A) √ ---- 181 B) 3 C) √ ---- 12 5 D) √ ---- 101

Zadanie 22
(1 pkt)

Bok DC prostokąta ABCD jest zawarty w prostej o równaniu y + 2x + 1 = 0 . Jedna z przekątnych tego prostokąta może być zawarta w prostej o równaniu
A) y + 2x − 1 = 0 B) 2y − x + 1 = 0 C) 2y + x + 1 = 0 D) 1 y − 2 x+ 1 = 0

Zadanie 23
(1 pkt)

Prosta l jest styczna do okręgu w punkcie C . Jeżeli kąt ∘ α = 6 2 , to miara kąta β jest równa

PIC

A) 28∘ B) 4 8∘ C) 59∘ D) 62∘

Zadanie 24
(1 pkt)

Dane są punkty M = (− 9,12) , N = (− 9,0 ) oraz O = (0,0) . Tangens kąta ostrego MON jest równy
A) 4 3 B) − 3 5 C) 3 4 D) 4 − 3

Zadanie 25
(1 pkt)

W pojemniku są wyłącznie kule białe, czerwone, niebieskie i żółte. Kul białych jest tyle samo co kul niebieskich, kul czerwonych jest dwa razy więcej niż kul żółtych, a stosunek liczby kul żółtych do liczby kul niebieskich jest równy 4 : 5. Z pojemnika losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli, która nie jest czerwona jest równe
A) 17 22 B) 7 9 C) -4 11 D) 171

Zadanie 26
(1 pkt)

Dana jest funkcja kwadratowa 2 f(x) = a(x − b ) + 2 , gdzie a ⁄= 0 i b są liczbami rzeczywistymi. Funkcja f nie przyjmuje wartości większych od 2.
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3.
Funkcja f

A) ma miejsca zerowe,B) nie ma miejsc zerowych,
ponieważ
1) a < 0 i f(b ) > 0 .
2) a > 0 i f(b ) > 0 .
3) a < 0 i f(b ) < 0 .

Zadanie 27
(1 pkt)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) , dane są punkty A = (1,2) i B = (2m ,m ) , gdzie m jest liczbą rzeczywistą, oraz prosta k o równaniu y = −x − 1 . Prosta przechodząca przez punkty A i B jest prostopadła do prostej k , gdy
A) m = − 1 B) m = 1 C) m = 1 2 D) m = 2

Zadanie 28
(1 pkt)

Reszta z dzielenia liczby 10 30 + 1020 + 1010 + 10 przez 12 jest równa
A) 8 B) 10 C) 2 D) 4

Zadanie 29
(1 pkt)

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Krawędź boczna DS jest prostopadła do podstawy i ma długość 3 (zobacz rysunek).

PIC

Jeżeli α jest katem pomiędzy krawędziami bocznymi SB i SC , to
A) c osα = 3 5 B) √ -- co sα = 5-41- 41 C) co sα = 45 D) √-- cosα = 53344-

Informacja do zadań 30.1 i 30.2

Basen ma długość 25 m. Przy głębszym z brzegów jego głębokość jest równa 1,8 m. Przekrój podłużny tego basenu przedstawiono poglądowo na rysunku. Głębokość y basenu zmienia się wraz z odległością x od brzegu w sposób opisany funkcją:

{ 0 ,08x + 1,2 dla 0 ≤ x ≤ 15 m y = ax + b dla 15 m ≤ x ≤ 25 m

Odległość x jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody (zobacz rysunek). Wielkości x i y są wyrażone w metrach.

PIC
Zadanie 30.1
(1 pkt)

Największa głębokość basenu jest równa
A) 5,4 m B) 3,6 m C) 2,4 m D) 1,8 m

Zadanie 30.2
(2 pkt)

Oblicz wartość współczynnika a oraz wartość współczynnika b .

Zadanie 31
(4 pkt)

Rozważamy wszystkie trapezy równoramienne o obwodzie równym 96 i kącie ostrym o mierze  ∘ 30 .

  • Podaj wzór funkcji opisującej zależność pola takiego trapezu od długości x jego ramienia.
  • Oblicz wymiary tego z rozważanych trapezów, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.

Informacja do zadań 32.1 i 32.2

W pewnej grupie 100 uczniów przeprowadzono sondaż dotyczący dziennego czasu korzystania z komputera. Wyniki sondażu przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażony w godzinach – dzienny czas korzystania przez ucznia z komputera. Na osi pionowej przedstawiono liczbę uczniów, którzy dziennie korzystają z komputera przez określony czas.

PIC
Zadanie 32.1
(1 pkt)

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Mediana dziennego czasu korzystania przez ucznia z komputera jest równa 2 godziny. PF
Połowa z tej grupy uczniów korzysta dziennie z komputera przez więcej niż 2 godziny. PF

Zadanie 32.2
(1 pkt)

Dominanta dziennego czasu korzystania przez ucznia z komputera jest równa
A) 2,25 godziny B) 2,50 godziny C) 1,5 godziny D) 2 godziny

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania