/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 25 kwietnia 2020 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Granica jednostronna 3 lim 3+24x2- x→− 0,5− (2x+ 1) jest równa
A) + ∞ B) 9 C) 0 D) − ∞

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba 2 ∘ 1 − 2sin (− 75 ) jest równa
A) √ - − --3 2 B) − 1 2 C) 12 D) √ - -23

Zadanie 3
(1 pkt)

Suma rozwiązań równania |x2 − 8|+ 2x = 0 jest równa
A) 0 B) − 6 C) 2 D) − 4

Zadanie 4
(1 pkt)

Nieskończony ciąg geometryczny (a ) n jest określony w następujący sposób: a = 2 1 3 oraz 3 an+ 1 = 5 ⋅an dla n ≥ 1 . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa
A) 5 3 B) 10 9 C) -9 10 D) 95

Zadanie 5
(1 pkt)

Okrąg (x − 27 )2 + (y + 70 )2 = 4 jest styczny do prostej
A) y = −x B) y = − 65x C) 4x + 3y = 0 D) 12x + 5y = 0

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Liczby rzeczywiste x,y spełniają warunki: x > 1 , y > 1 oraz 3 3 x > y + 1 . Wykaż, że prawdziwa jest równość

1 1 1 1 -------3----3- ⋅-------3----3- = -------3----3- ⋅-------3----3-. logx (x + y ) logy (x − y ) logy (x + y ) logx (x − y )

Zadanie 7
(3 pkt)

Rozważamy wszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe zapisane przy użyciu cyfr 0, 3, 5, 7, 9, bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry. Oblicz sumę wszystkich takich liczb.

Zadanie 8
(3 pkt)

Dwa okręgi przecinają się w punktach M i N . Przez punkt A pierwszego okręgu prowadzimy proste AM i AN , przecinające drugi okrąg w punktach B i C . Udowodnij, że styczna w punkcie A do pierwszego okręgu jest równoległa do prostej BC .

PIC

Zadanie 9
(3 pkt)

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej k i dla każdej liczby całkowitej m liczba 8 2 2 8 k m − k m jest podzielna przez 36.

Zadanie 10
(3 pkt)

W pudełku znajdują się 4 kule czarne i 6 kul białych. Rzucamy dwa razy monetą. Jeśli otrzymamy 2 reszki, losujemy z pudełka kolejno bez zwracania 2 kule. W pozostałych przypadkach losujemy trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kul jest dokładnie jedna kula czarna.

Zadanie 11
(4 pkt)

W równoległoboku boki mają długości 3 i 7, a jedna z przekątnych ma długość 6. Oblicz cosinus kąta ostrego pod jakim przecinają się przekątne tego równoległoboku.

Zadanie 12
(4 pkt)

Rozwiąż równanie

sinx + sin 2x + sin3x = cosx + cos2x + co s3x.

Zadanie 13
(4 pkt)

Przedłużenia ramion AD i BC trapezu równoramiennego ABCD przecinają się w punkcie S = (− 14,15) . Wyznacz współrzędne wierzchołków B i D tego trapezu, jeżeli A = (− 8,− 15) i C = (− 9,14) .

Zadanie 14
(6 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa h , a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę α . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 15
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

9x 2 + (6m + 9)x + m2 + 3m − 10 = 0

ma dwa różne ujemne rozwiązania x1,x2 spełniające nierówność x2+ x2 ≤ 65 1 2 9 .

Zadanie 16
(7 pkt)

Z odcinka drutu o długości 4 m wykonano ramkę w kształcie rombu z jedną przekątną (zobacz rysunek).

PIC

Jaka powinna być długość tej przekątnej, aby pole powierzchni tego rombu było największe możliwe?

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania