/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
poziom rozszerzony 2 czerwca 2015 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Ciąg (a ) n jest określony wzorem an+ 1 = an + n − 6 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Trzeci wyraz tego ciągu jest równy a3 = −1 . Wyraz a2 jest równy
A) − 3 B) − 2 C) 2 D) 3

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba punktów wspólnych wykresów funkcji y = −x + 1 i y = log x 2 jest równa
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Zadanie 3
(1 pkt)

Która z poniższych funkcji, określonych w zbiorze liczb rzeczywistych, nie ma minimum lokalnego ani maksimum lokalnego?
A) f(x ) = 4x2 + 5x B) f (x) = 3x 3 + 2x 2 C) 1x3 + 2x 3 D) f(x ) = (4x + 1)2

Zadanie 4
(1 pkt)

Dla dowolnego kąta α wartość wyrażenia ∘ sin α + sin(180 − α ) jest równa wartości wyrażenia
A) sin 2α B) − sinα C) 2 sin α D) 0

Zadanie 5
(1 pkt)

Zbiór K – to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x , dla których wartość liczbowa wyrażenia ∘x -(x2 −-9)- jest liczbą rzeczywistą. Zatem
A) K = ⟨− 3,0⟩ ∪ ⟨3,+ ∞ ) B) K = (− ∞ ,− 3⟩∪ ⟨0 ,3⟩
C) K = (− 3,0) ∪ (3,+ ∞ ) D) K = (− ∞ ,− 3)∪ (0 ,3)

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Wyznacz największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność |x| < |x − 1025| .

Zadanie 7
(2 pkt)

Prosta o równaniu 3 61 y = 4x − 14 jest styczna od okręgu o środku S = (1,− 4) . Wyznacz promień tego okręgu.

Zadanie 8
(3 pkt)

Niech a = lo g 2 12 . Wykaż, że -6a-- lo g664 = 1−a .

Zadanie 9
(3 pkt)

W trójkącie ABC kąt wewnętrzny przy wierzchołku A ma miarę 50∘ , a kąt wewnętrzny przy wierzchołku C ma miarę 60∘ . Okrąg o1 przechodzi przez punkt A i przecina boki AB i AC trójkąta odpowiednio w punktach D i E . Okrąg o 2 przechodzi przez punkt B , przecina okrąg o1 w punkcie D oraz w punkcie F leżącym wewnątrz trójkąta ABC . Ponadto okrąg o2 przecina bok BC trójkąta w punkcie G .

PIC

Udowodnij, że na czworokącie CEF G można opisać okrąg.

Zadanie 10
(4 pkt)

Rozwiąż równanie (4 sin2x − 1) ⋅sinx = cos2x − 3 sin2x , dla x ∈ (− π,0 ) .

Zadanie 11
(4 pkt)

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 i 20 wpisano okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu i przeciwprostokątnej.

Zadanie 12
(4 pkt)

Dany jest trójkąt ABC , w którym |BC | = a . Z wierzchołka B poprowadzono środkową BD do boku AC . Punkt S jest środkiem odcinka BD . Przez punkty A i S poprowadzono prostą, która przecięła bok BC w punkcie P . Wykaż, że długość odcinka CP jest równa 2 3a .

Zadanie 13
(5 pkt)

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie występują co najwyżej dwie dwójki.

Zadanie 14
(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest trapez ABCD . Przekątna AC tego trapezu ma długość √ -- 8 3 , jest prostopadła do ramienia BC i tworzy z dłuższą podstawą AB tego trapezu kąt o mierze 30∘ . Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość √ -- 4 5 . Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej SD .

Zadanie 15
(6 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem 2 f(x ) = m-+mm−-−56x 2 − (m − 2)x + m − 5 dla każdej liczby rzeczywistej x . Wyznacz całkowite wartości parametru m , dla których funkcja f przyjmuje wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.

Zadanie 16
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest równa 2. Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania