/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 8 kwietnia 2017 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1

(1 pkt)

Funkcja określona jest wzorem f(x ) = |2+ 0 ,5x−2|− 4 dla każdej liczby rzeczywistej. Zbiorem wartości funkcji jest
A) ⟨2,4⟩ B) (− 2,+ ∞ ) C) ⟨2,+ ∞ ) D) (− 4 ,+ ∞ )

Zadanie 2

(1 pkt)

Wielomian 5 3 2 W (x) = 3x + px − (p − 1)x + 5x − 9 jest podzielny przez dwumian 2 x − 1 dla równego
A) 6 B) − 16 C) 4 D) − 8

Zadanie 3

(1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem a = a − a + n − 3 n+ 2 n n+1 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Wiadomo ponadto, że a5 = 3 i a 7 = 6 . Szósty wyraz tego ciągu jest równy
A) − 1 B) − 2 C) 3 D) 5

Zadanie 4

(1 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy. Wynika stąd, że cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy
A) √ -- -3355 B) √ -- -3344- C) √ - -23 D) 1 3

Zadanie 5

(1 pkt)

Granica lim (2−3n5)3- n→+ ∞ (3−2n3)5 jest równa
A) 2372 B) C) 2843 D) 3 2

Zadania otwarte

Zadanie 6

(2 pkt)

Suma wszystkich wyrazów ciągu danego wzorem n an = (log 8x) , gdzie n ≥ 1 jest równa 1 2 . Oblicz .

Zadanie 7

(3 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny o polu 6, w którym długość przeciwprostokątnej jest liczbą z przedziału ⟨5,6⟩ . Wykaż, że suma długości przyprostokątnych tego trójkąta jest liczbą z przedziału √ --- ⟨7,2 15⟩ .

Zadanie 8

(3 pkt)

Funkcja określona jest wzorem f(x ) = x3 − 3x + 2 dla każdej liczby rzeczywistej . Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji , które przechodzą przez punkt (2,− 4) .

Zadanie 9

(3 pkt)

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a ,b prawdziwa jest nierówność

∘ --- ∘ --- √ -- √ -- a2 b2 a + b ≤ ---+ --. b a

Zadanie 10

(4 pkt)

W pudełku znajdują się 4 kostki do gry: 3 sześcienne (ze ścianami ponumerowanymi liczbami od 1 do 6) i jedna czworościenna (ze ścianami ponumerowanymi liczbami od 1 do 4). Losowo wybrano kostkę, wykonano nią 3 rzuty i w wyniku tych 3 rzutów otrzymano trzy razy jedynkę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana kostka była kostką czworościenną?

Zadanie 11

(4 pkt)

Rozwiąż równanie √ -- sin4x = 2co sx − sin2x w przedziale ⟨0,2π⟩ .

Zadanie 12

(4 pkt)

W czworokąt ABCD , w którym |AD | = 4 i |CD | = 6 , można wpisać okrąg. Przekątna tworzy z bokiem czworokąta kąt o mierze ∘ 45 , natomiast z bokiem tworzy kąt, którego sinus jest równy 1 4 . Wyznacz długości boków i oraz długość przekątnej tego czworokąta.

Zadanie 13

(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których wykresy funkcji i , określonych wzorami 2 f(x) = x − 1 oraz g(x) = 5 − ax , przecinają w dwóch punktach znajdujących się powyżej osi układu współrzędnych.

Zadanie 14

(5 pkt)

Punkty A = (− 8,6) i B = (3,11) są wierzchołkami podstawy trójkąta równoramiennego ABC , a wysokość opuszczona z wierzchołka tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 2x − 19y + 130 = 0 . Oblicz współrzędne wierzchołka .

Zadanie 15

(5 pkt)

Podstawa stożka o kącie rozwarcia 2α < 9 0∘ jest kołem wielkim kuli. Oblicz objętość tego stożka jeżeli jego powierzchnia boczna wycina z powierzchni kuli okrąg o promieniu .