/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 24 kwietnia 2021 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Wielomian W (x) = x7 − 5ax5 + 4bx 4 − 6x + 8 jest podzielny przez wielomian (x2 − 1) . Zatem
A) a + b = − 1 . B) a + b = − 2 . C) a + b = − 3 . D) a + b = 0 .

Zadanie 2
(1 pkt)

Prosta k : 2x+ y+ b = 0 ma dwa punkty wspólne z parabolą 2 y = −x − 3 wtedy i tylko wtedy, gdy
A) b < 2 B) b > − 2 C) b < − 2 D) b > 2

Zadanie 3
(1 pkt)

Wyrażenie (2n+n1) : (2n−n1) dla liczby naturalnej n ≥ 2 jest równe
A) -n−1- 2n− 1 B) 2n+1- 2n−1 C) 2 D) 4nn++12

Zadanie 4
(1 pkt)

Rozwiązaniem nierówności 8 x3 ≤ 1 jest zbiór
A) (− ∞ ,2⟩ B) (− ∞ ,0) ∪ ⟨2,+ ∞ ) C) ⟨2,+ ∞ ) D) (0,2 ⟩

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

W trójkącie ABC bok BC jest 3 razy krótszy od boku AC , a długość boku AB stanowi 52 długości boku BC . Oblicz cosinus największego kąta trójkąta ABC .

Zadanie 6
(3 pkt)

Z punktu ( ) A = 1,3 2 poprowadzono styczne do wykresu funkcji y = 2x − x2 . Wyznacz równia tych stycznych.

Zadanie 7
(3 pkt)

Dana jest liczba k > 1 . Wyrazy ciągu (an) , określonego dla n ≥ 1 , spełniają warunki

{ 2 lim (a1 + a2 + ...+ an ) = kk−1- n→ + ∞ 1 + logk an+1 = logk an, dla n ≥ 1.

Udowodnij, że

k6 lim (a21 + a23 + a25 + ...+ a22n+1) = ------. n→ + ∞ k4 − 1

Zadanie 8
(4 pkt)

Wiadomo, że π- 2π- 1 cos 5 co s 5 = 4 . Udowodnij, że przekątna pięciokąta foremnego o boku długości 1 ma długość √ - 1+--5 2 .

Zadanie 9
(4 pkt)

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ABCDEF ma długość 4 (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz odległość wierzchołka F tego graniastosłupa od płaszczyzny DEC .

Zadanie 10
(4 pkt)

Rozwiąż równanie

√ -- tgx + 1 + -1--+ -1---+ ...= --3-(1+ tg x) tg 2x, tg x tg 2x 2

w którym lewa strona jest sumą wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego.

Zadanie 11
(4 pkt)

Oblicz, ile jest wszystkich ośmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie cztery cyfry 4 i dokładnie dwie cyfry 2.

Zadanie 12
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ∈ R , dla których pierwiastki wielomianu W (x) = x3 + (m − 6)x2 + (m − 7)x tworzą ciąg arytmetyczny.

Zadanie 13
(5 pkt)

Jeden bok kwadratu opisanego okręgu o równaniu x2 + y2 − 8x + 2y − 3 = 0 jest zawarty w prostej o równaniu x+ 2y− 12 = 0 . Oblicz współrzędne wierzchołków tego kwadratu.

Zadanie 14
(5 pkt)

W pudełku znajduje się n > 2 sześciennych kostek do gry, przy czym k spośród tych kostek (k > 0 i k < n ) ma na dwóch ściankach jedno oczko, a na pozostałych czterech ściankach sześć oczek. Wybieramy losowo jedną z tych kostek i wykonujemy nią cztery kolejne rzuty. Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana kostka miała jedno oczko na dwóch ściankach, jeżeli wiadomo, że w każdym z czterech wykonanych rzutów otrzymano ściankę z sześcioma oczkami.

Zadanie 15
(7 pkt)

Z arkusza blachy w kształcie półkola o promieniu R należy wyciąć trapez, którego jedna podstawa jest średnicą tego półkola, a wierzchołki drugiej podstawy leżą na jego brzegu (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz jaką długość powinno mieć ramię tego trapezu, aby jego pole było największe możliwe. Oblicz to pole.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania