/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 5 marca 2016 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Granica 53 lim (2−3x3)5- x→+ ∞ (3−2x ) jest równa
A) 2372 B) 23 C) 2843 D) 3 2

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba punktów wspólnych wykresów funkcji y = −x i y = log0,2x jest równa
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczba ---1√---- (2− 3)3 jest równa
A) √ -- 27 + 24 3 B) √ -- 27 + 30 3 C) 14 + 7√ 3- D) 26 + 15√ 3-

Zadanie 4
(1 pkt)

Pochodna funkcji f(x) jest równa f′(x) = 3x3 − 2x2 + x . Funkcja f może mieć wzór
A) 4 3 2 f(x ) = x − x + x B) 3 3 2 2 1 f(x ) = 4x − 3x + 2x
C) f(x ) = 34x4 − 23x 3 + 12x2 D) f (x) = 9x2 − 4x + 1

Zadanie 5
(1 pkt)

Liczba ∘ ∘ co s15 + sin1 5 jest równa
A) √ -- --10 4 B) √ -- --10- 2 C) √ - --6 4 D) √ - -26

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Prosta o równaniu y = − 43x + 435 jest styczna od okręgu o środku S = (− 1,3) . Wyznacz promień tego okręgu.

Zadanie 7
(2 pkt)

Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą n spełniającą równanie

2 ⋅|x − 4 7| = |x + 6 1|.

Zadanie 8
(2 pkt)

W każdej z dwóch urn jest tyle samo kul białych i czarnych, a trzecia urna jest pusta. Z każdej z dwóch pierwszych urn losujemy jedną kulę i wkładamy je do trzeciej urny. Następnie z trzeciej urny losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że kula wylosowana z trzeciej urny jest biała.

Zadanie 9
(3 pkt)

Oblicz granicę ∘ √----------√--------- lim 4 n 2 + n − n 2 − 7n n→+ ∞ .

Zadanie 10
(3 pkt)

Wykaż, że jeżeli a > b ≥ 1 , to --a- -b-- 3+a4 < 3+b 4 .

Zadanie 11
(3 pkt)

Niech T 1 będzie trójkątem równobocznym o boku długości a . Konstruujemy kolejno trójkąty równoboczne T2,T3,T 4... takie, że bok kolejnego trójkąta jest równy wysokości poprzedniego trójkąta. Oblicz sumę pól wszystkich tak utworzonych trójkątów T1,T2,T3,... .

Zadanie 12
(3 pkt)

Długości boków czworokąta ABCD są równe: |AB | = 3, |BC | = 6, |CD | = 5 , |DA | = 4 . Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej BD tego czworokąta.

Zadanie 13
(4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie x 2 − x + m = 0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste x1,x2 spełniające warunek 2 2 3 3 (x1 − x2)(x1 − x2) < 6 37 .

Zadanie 14
(5 pkt)

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych nieparzystych, w których zapisie występują co najmniej trzy jedynki.

Zadanie 15
(6 pkt)

Punkty M i L leżą odpowiednio na bokach AB i AC trójkąta ABC , przy czym zachodzą równości |MB | = 3|AM | oraz |LC | = 2|AL | . Punkt S jest punktem przecięcia odcinków BL i CM . Punkt K jest punktem przecięcia półprostej AS z odcinkiem BC (zobacz rysunek).

PIC

Pole trójkąta ABC jest równe 528. Oblicz pola trójkątów: AMS ,ALS ,BMS i CLS .

Zadanie 16
(6 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest trapez równoramienny ABCD , którego ramiona mają długość √ -- |AD | = |BC | = 16 2 i tworzą z podstawą AB kąt ostry o mierze 45∘ . Każda ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem α takim, że 15 tgα = 8 . Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od jego ściany bocznej SAD .

Zadanie 17
(6 pkt)

Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości 64 cm i szerokości 40 cm. Po dwóch stronach tego arkusza wycięto prostokąty, w których stosunek boków jest równy 1:2 (zacieniowane prostokąty na rysunku).

PIC

Następnie zagięto karton wzdłuż linii przerywanych, tworząc w ten sposób prostopadłościenne pudełko (bez przykrywki). Oblicz długości boków wyciętych prostokątów, dla których objętość otrzymanego pudełka jest największa. Oblicz tę objętość.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania